Chapitre 3 – Circuits linéaires soumis à un échelon de tension
On verra dans ce chapitre les solutions particulières correspondant au cas où le second
membre est constant au cours du temps. En deuxième période, on s’intéressera aux
solutions particulières dans le cas des régimes sinusoïdaux forcés. Dans tous les cas, les
solutions particulières décrivent le régime permanent.
On s’intéresse dans un premier temps à la solution générale de l’équation homogène
associée qui traduit le régime libre.
2.2 Régime libre
On appelle régime libre la réponse d’un système en l’absence d’excitation. En pratique,
l’expression de cette réponse est la solution de l’équation différentielle homogène
associée à savoir de l’équation différentielle à second membre nul.
En reprenant l’exemple donné au paragraphe précédent, cette solution s’écrit :
u = U 0 exp
−
t
t
où U 0 est une constante à déterminer à partir des conditions initiales.
2.3 Charge et décharge d’un condensateur
On s’intéresse maintenant à la réponse à un échelon de tension.
a) Charge d’un condensateur
On suppose tout d’abord que e(t) passe d’une valeur 0 pour t < 0 à une valeur E pour
t > 0.
On doit tenir compte ici à la fois :
• du régime libre décrit par la solution générale de l’équation homogène associée,
• du régime permanent donné par u = E dont on vérifie qu’elle est bien une solution
particulière de l’équation différentielle.
La constante U 0 qui a été introduite dans l’expression de la solution correspondant au
régime libre doit être déterminée à partir de la solution générale de l’équation différentielle (3.1) c’est-à-dire de la somme de la solution générale de l’équation homogène
associée et d’une solution particulière décrivant le régime permanent.
On utilise alors la propriété importante que la tension d’un condensateur est une
fonction continue du temps. On a justifié cette propriété lors de l’étude énergétique d’une capacité par le fait que l’énergie stockée dans un condensateur est
proportionnelle au carré de sa charge ou de la tension à ses bornes et qu’une discontinuité de l’énergie correspondrait à une puissance infinie, ce qui n’a pas de réalité
physique. Alors en supposant que le condensateur est initialement déchargé, on a :
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On verra dans ce chapitre les solutions particulières correspondant au cas où le second
membre est constant au cours du temps. En deuxième période, on s’intéressera aux
solutions particulières dans le cas des régimes sinusoïdaux forcés. Dans tous les cas, les
solutions particulières décrivent le régime permanent.
On s’intéresse dans un premier temps à la solution générale de l’équation homogène
associée qui traduit le régime libre.
2.2 Régime libre
On appelle régime libre la réponse d’un système en l’absence d’excitation. En pratique,
l’expression de cette réponse est la solution de l’équation différentielle homogène
associée à savoir de l’équation différentielle à second membre nul.
En reprenant l’exemple donné au paragraphe précédent, cette solution s’écrit :
u = U 0 exp
−
t
t
où U 0 est une constante à déterminer à partir des conditions initiales.
2.3 Charge et décharge d’un condensateur
On s’intéresse maintenant à la réponse à un échelon de tension.
a) Charge d’un condensateur
On suppose tout d’abord que e(t) passe d’une valeur 0 pour t < 0 à une valeur E pour
t > 0.
On doit tenir compte ici à la fois :
• du régime libre décrit par la solution générale de l’équation homogène associée,
• du régime permanent donné par u = E dont on vérifie qu’elle est bien une solution
particulière de l’équation différentielle.
La constante U 0 qui a été introduite dans l’expression de la solution correspondant au
régime libre doit être déterminée à partir de la solution générale de l’équation différentielle (3.1) c’est-à-dire de la somme de la solution générale de l’équation homogène
associée et d’une solution particulière décrivant le régime permanent.
On utilise alors la propriété importante que la tension d’un condensateur est une
fonction continue du temps. On a justifié cette propriété lors de l’étude énergétique d’une capacité par le fait que l’énergie stockée dans un condensateur est
proportionnelle au carré de sa charge ou de la tension à ses bornes et qu’une discontinuité de l’énergie correspondrait à une puissance infinie, ce qui n’a pas de réalité
physique. Alors en supposant que le condensateur est initialement déchargé, on a :
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