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Analyse qualitative du mouvement
soit en introduisant la constante des aires C = r
2 ˙
u :
Ec =
1
2
m
˙
r
2 +
C
2
r 2
L’expression de l’énergie mécanique devient :
Em = Ec + Ep int (r) =
1
2
m˙ r
2 +
mC
2
2r 2 + Ep int (r)
➤ Remarque : On peut également se placer dans le référentiel barycentrique. D’après
le deuxième théorème de Koenig, l’énergie cinétique s’écrit :
Ec = Ec
+
1
2
Mv
2 (G)
On en déduit l’expression de l’énergie mécanique :
Em = Em
+
1
2
Mv
2 (G)
Comme le système est isolé,
1
2
Mv
2 (G) est une constante et l’énergie mécanique exprimée dans le référentiel barycentrique est constante.
5. Analyse qualitative du mouvement
Dans ce paragraphe, on se place dans l’hypothèse d’un système isolé de deux points
matériels dont l’interaction est conservative. Tous les résultats précédents sont applicables.
5.1 Énergie potentielle effective
L’expression obtenue pour la conservation de l’énergie mécanique conduit à introduire la notion d’énergie potentielle effective ou efficace :
U eff (r) = Ep int (r) +
mC
2
2
1
r 2
On se ramène ainsi à un problème unidimensionnel en r. Il suffit de résoudre cette
équation de conservation de l’énergie mécanique d’une particule fictive de masse m
placée dans un potentiel effectif U eff .
Dans la suite de ce paragraphe, on va discuter la nature du mouvement suivant l’allure
de ce potentiel efficace et les valeurs de la constante de l’énergie mécanique E 0 .
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