Chapitre 30 – Systèmes de deux points matériels isolés
En utilisant les coordonnées polaires dans ce plan, on obtient :
⎧
⎨
⎩
− → r = r − → u r
− → v = ˙
r − → u r + r ˙
u − → u u
− →
C s’écrit alors :
− →
C = r − → u r ∧
˙
r − → u r + r ˙
u − → u u
= r
2 ˙
u − → u z
On en déduit que la grandeur
C = r
2 ˙
u
est une constante du mouvement. C est appelée constante des aires et vaut deux fois
la vitesse aréolaire ou aire balayée par le rayon-vecteur
−→
GA pendant l’intervalle de
temps dt :
dA
dt
=
r
2 ˙
u
2
Ce point sera revu dans le chapitre sur les forces centrales.
On peut noter également que ˙
u garde un signe constant au cours du temps : la
particule fictive tourne toujours dans le même sens.
On retiendra que la conservation du moment cinétique traduit le fait que le mouvement est plan et que le rayon-vecteur balaie une aire constante par unité de
temps.
4.6 Forces conservatives et conservation de l’énergie
On formule maintenant une hypothèse supplémentaire à celle d’un système isolé de
deux points matériels : on suppose que les forces d’interaction entre les deux points
matériels sont conservatives et donc dérivent d’un potentiel.
Dans ce cas, le théorème de l’énergie mécanique :
d (Ec + Ep int + Ep ext ) = dW
int + dW
ext
s’écrit :
d (Ec + Ep int ) = 0
L’énergie mécanique Em = Ec + Ep int est donc ici une constante du mouvement.
On utilise les coordonnées polaires dans le plan du mouvement. L’énergie cinétique
s’écrit :
Ec =
1
2
m
˙
r
2 +
r ˙
u
2
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