3.
Ressort en rotation
x
y
O
A
B
− → u x
− → u y
− → u z
Figure 29.2
Deux points matériels A et B de même masse m sont
reliés par un ressort sans masse de longueur à vide
0 et de raideur k. Le point A est également relié à
un point fixe O par l’intermédiaire d’un fil inextensible de longueur L. L’ensemble tourne sans frottement dans un plan horizontal à la vitesse angulaire
v constante autour du point fixe O. Pendant cette
première phase la distance r = AB reste constante.
On suppose que le ressort ne se tord pas et que
mv
2 < k.
1. Montrer que les points O, A et B sont alignés. Calculer la tension T f du fil et la longueur
1 du ressort. Application : k = 2mv
2 ; exprimer 1 en fonction de L et 0 .
2. À t = 0, on brûle le fil entre O et A. Les points A et B se trouvent à cet instant sur l’axe
Ox.
a) Déterminer le mouvement ultérieur du centre d’inertie G des deux points matériels. Calculer sa vitesse et sa position. Application : k = 2mv
2 ; exprimer la vitesse V G en fonction de
L, 1 et v.
b) Définir le référentiel barycentrique. Qu’a-t-il de remarquable ?
La suite du problème sera traitée dans le référentiel barycentrique.
3. a) Déterminer les expressions des positions de A et B par rapport à G et de leurs quantités
de mouvement en fonction de m et de
− →
AB.
b) Calculer l’énergie cinétique totale E
c , le moment cinétique total s
et l’énergie potentielle
d’interaction E p du système (A, B) ; en déduire la position par rapport à G et la masse d’un
point matériel M qui aurait cette énergie cinétique, ce moment cinétique et cette énergie
potentielle.
c) Calculer la vitesse initiale V 1 de M.
Application : k = 2mv
2 ; exprimer V 1 en fonction de L, 0 et v.
d) Quelles sont les forces subies par M ?
e) En déduire les deux grandeurs constantes au cours du mouvement et calculer leurs valeurs
en fonction de 1 , 0 , k, m et v.
Application : k = 2mv
2 ; les exprimer ensuite en fonction de m, L, 0 et v.
f) Définir le potentiel effectif E p,eff ; donner son expression pour k = 2mv
2 en fonction de m,
v, L, 0 et r = AB ; tracer son allure. On montrera qu’il présente un minimum pour r m < < 1 ,
pour cela on pourra calculer
dE p,eff
dr
( 1 ).
g) Positionner sur la courbe précédente le point correspondant à t = 0. Déterminer la longueur maximale du ressort au cours du temps.
h) Décrire avec précision le mouvement de A et B dans le référentiel barycentrique, puis dans
le référentiel de départ.
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Ressort en rotation
x
y
O
A
B
− → u x
− → u y
− → u z
Figure 29.2
Deux points matériels A et B de même masse m sont
reliés par un ressort sans masse de longueur à vide
0 et de raideur k. Le point A est également relié à
un point fixe O par l’intermédiaire d’un fil inextensible de longueur L. L’ensemble tourne sans frottement dans un plan horizontal à la vitesse angulaire
v constante autour du point fixe O. Pendant cette
première phase la distance r = AB reste constante.
On suppose que le ressort ne se tord pas et que
mv
2 < k.
1. Montrer que les points O, A et B sont alignés. Calculer la tension T f du fil et la longueur
1 du ressort. Application : k = 2mv
2 ; exprimer 1 en fonction de L et 0 .
2. À t = 0, on brûle le fil entre O et A. Les points A et B se trouvent à cet instant sur l’axe
Ox.
a) Déterminer le mouvement ultérieur du centre d’inertie G des deux points matériels. Calculer sa vitesse et sa position. Application : k = 2mv
2 ; exprimer la vitesse V G en fonction de
L, 1 et v.
b) Définir le référentiel barycentrique. Qu’a-t-il de remarquable ?
La suite du problème sera traitée dans le référentiel barycentrique.
3. a) Déterminer les expressions des positions de A et B par rapport à G et de leurs quantités
de mouvement en fonction de m et de
− →
AB.
b) Calculer l’énergie cinétique totale E
c , le moment cinétique total s
et l’énergie potentielle
d’interaction E p du système (A, B) ; en déduire la position par rapport à G et la masse d’un
point matériel M qui aurait cette énergie cinétique, ce moment cinétique et cette énergie
potentielle.
c) Calculer la vitesse initiale V 1 de M.
Application : k = 2mv
2 ; exprimer V 1 en fonction de L, 0 et v.
d) Quelles sont les forces subies par M ?
e) En déduire les deux grandeurs constantes au cours du mouvement et calculer leurs valeurs
en fonction de 1 , 0 , k, m et v.
Application : k = 2mv
2 ; les exprimer ensuite en fonction de m, L, 0 et v.
f) Définir le potentiel effectif E p,eff ; donner son expression pour k = 2mv
2 en fonction de m,
v, L, 0 et r = AB ; tracer son allure. On montrera qu’il présente un minimum pour r m < < 1 ,
pour cela on pourra calculer
dE p,eff
dr
( 1 ).
g) Positionner sur la courbe précédente le point correspondant à t = 0. Déterminer la longueur maximale du ressort au cours du temps.
h) Décrire avec précision le mouvement de A et B dans le référentiel barycentrique, puis dans
le référentiel de départ.
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