Chapitre 29 – Dynamique d’un système de deux points matériels
Le pendule pourra être considéré comme un pendule simple (point B) de masse m et de
longueur AB = L. Tout le système de fixation du pendule (potence, fil, . . . ) est de masse
négligeable.
Dans tout l’exercice, on raisonne dans le référentiel galiléen lié au sol.
u
u
O
A
A
B
B
C
x
z
+
Figure 29.1
1. On suppose que le chariot n’est pas en butée.
a) On écarte le pendule de sa position d’équilibre d’un angle u 0 ∈ [−
p
2 , 0] et on lache B,
sans communiquer de vitesse initiale au système. Établir la relation entre ˙
x vitesse du chariot
et ˙
u vitesse angulaire du pendule. On posera a =
m
m + M
.
b) Que peut-on dire du mouvement du centre de gravité des deux points ?
On change l’origine du repère ; la nouvelle origine O
étant sur l’axe Ox, à la verticale de G.
On note (X B , Z B ) les coordonnées de B et (X C , Z C ) celles de C dans ce nouveau repère.
c) Établir une relation entre X B et X C . Décrire qualitativement le mouvement du chariot en
fonction de la position de B.
Déterminer l’expression de la cote de G en fonction de u, L, a et h = CA.
d) Montrer que les coordonnées de B sont :
X B = (1 − a)L sin u et Z B = (1 − a)(h − L cos u)
En déduire la trajectoire de B.
2. On procède de même que précédemment, mais cette fois-ci le chariot est contre la butée
de gauche.
À partir de quel instant le système est-il pseudo-isolé (en ce qui concerne le mouvement horizontal) ? À ce même instant quelle est la différence avec la situation précédente ? En déduire la
nouvelle relation entre ˙
x et ˙
u.
Dans la suite on considère le chariot loin des butées.
3. a) Établir l’expression du l’énergie cinétique totale en fonction de u et de ses dérivées.
b) Établir l’expression de l’énergie potentielle totale, en fonction de u.
c) Exprimer l’énergie mécanique totale. Quelle propriété a-t-elle ? En déduire l’équation
différentielle du mouvement. Simplifier cette équation en ne considérant que les petites oscillations et en déduire la période correspondante.
700
Le pendule pourra être considéré comme un pendule simple (point B) de masse m et de
longueur AB = L. Tout le système de fixation du pendule (potence, fil, . . . ) est de masse
négligeable.
Dans tout l’exercice, on raisonne dans le référentiel galiléen lié au sol.
u
u
O
A
A
B
B
C
x
z
+
Figure 29.1
1. On suppose que le chariot n’est pas en butée.
a) On écarte le pendule de sa position d’équilibre d’un angle u 0 ∈ [−
p
2 , 0] et on lache B,
sans communiquer de vitesse initiale au système. Établir la relation entre ˙
x vitesse du chariot
et ˙
u vitesse angulaire du pendule. On posera a =
m
m + M
.
b) Que peut-on dire du mouvement du centre de gravité des deux points ?
On change l’origine du repère ; la nouvelle origine O
étant sur l’axe Ox, à la verticale de G.
On note (X B , Z B ) les coordonnées de B et (X C , Z C ) celles de C dans ce nouveau repère.
c) Établir une relation entre X B et X C . Décrire qualitativement le mouvement du chariot en
fonction de la position de B.
Déterminer l’expression de la cote de G en fonction de u, L, a et h = CA.
d) Montrer que les coordonnées de B sont :
X B = (1 − a)L sin u et Z B = (1 − a)(h − L cos u)
En déduire la trajectoire de B.
2. On procède de même que précédemment, mais cette fois-ci le chariot est contre la butée
de gauche.
À partir de quel instant le système est-il pseudo-isolé (en ce qui concerne le mouvement horizontal) ? À ce même instant quelle est la différence avec la situation précédente ? En déduire la
nouvelle relation entre ˙
x et ˙
u.
Dans la suite on considère le chariot loin des butées.
3. a) Établir l’expression du l’énergie cinétique totale en fonction de u et de ses dérivées.
b) Établir l’expression de l’énergie potentielle totale, en fonction de u.
c) Exprimer l’énergie mécanique totale. Quelle propriété a-t-elle ? En déduire l’équation
différentielle du mouvement. Simplifier cette équation en ne considérant que les petites oscillations et en déduire la période correspondante.
700