Chapitre 29 – Dynamique d’un système de deux points matériels
Le travail qu’un opérateur extérieur doit fournir pour amener les particules de l’infini
à leur position finale sans pour autant leur fournir une énergie cinétique (c’est-à-dire
en effectuant l’opération infiniment lentement) s’obtient en appliquant le théorème
de l’énergie cinétique dans un référentiel galiléen :
W op + W int = 0
puisqu’il n’y a pas d’autres forces extérieures que celle de l’opérateur. On en déduit :
W op = −W int = −(Ep(∞) − Ep) = Ep
Par conséquent, l’énergie potentielle d’interaction représente le travail que doit fournir un opérateur extérieur pour constituer le système à partir de particules à l’infini au
sens précisé plus haut.
Exemples
Énergie potentielle d’interaction gravitationnelle
La force s’écrit :
− →
f 21 = G
m 1 m 2
(A 1 A 2 ) 3
− −− →
A 1 A 2
Donc
−dEp =
− →
f 21 · d
− −− →
A 2 A 1 = f 21 dA 1 A 2 = −G
m 1 m 2
(A 1 A 2 ) 2 dA 1 A 2 = Gm 1 m 2 d
1
A 1 A 2
On en déduit :
Ep = −G
m 1 m 2
A 1 A 2
+ C
Or Ep(∞) = 0 donc C = 0 et
Ep = −G
m 1 m 2
A 1 A 2
Énergie potentielle d’interaction coulombienne
La force s’écrit :
− →
f 21 = −
1
4p´ 0
q 1 q 2
(A 1 A 2 ) 3
− −− →
A 1 A 2
Donc, par une démonstration analogue à la précédente (obtenue en remplaçant −Gm 1 m 2 par
q 1 q 2
4p´ 0
), on a :
Ep =
1
4p´ 0
q 1 q 2
A 1 A 2
= q 1 V 2 (A 1 )
en notant
V 2 (A 1 ) =
1
4p´ 0
q 2
A 1 A 2
le potentiel électrique créé au point A 1 par la charge q 2 située en A 2 (Cf. cours d’électromagnétisme).
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Le travail qu’un opérateur extérieur doit fournir pour amener les particules de l’infini
à leur position finale sans pour autant leur fournir une énergie cinétique (c’est-à-dire
en effectuant l’opération infiniment lentement) s’obtient en appliquant le théorème
de l’énergie cinétique dans un référentiel galiléen :
W op + W int = 0
puisqu’il n’y a pas d’autres forces extérieures que celle de l’opérateur. On en déduit :
W op = −W int = −(Ep(∞) − Ep) = Ep
Par conséquent, l’énergie potentielle d’interaction représente le travail que doit fournir un opérateur extérieur pour constituer le système à partir de particules à l’infini au
sens précisé plus haut.
Exemples
Énergie potentielle d’interaction gravitationnelle
La force s’écrit :
− →
f 21 = G
m 1 m 2
(A 1 A 2 ) 3
− −− →
A 1 A 2
Donc
−dEp =
− →
f 21 · d
− −− →
A 2 A 1 = f 21 dA 1 A 2 = −G
m 1 m 2
(A 1 A 2 ) 2 dA 1 A 2 = Gm 1 m 2 d
1
A 1 A 2
On en déduit :
Ep = −G
m 1 m 2
A 1 A 2
+ C
Or Ep(∞) = 0 donc C = 0 et
Ep = −G
m 1 m 2
A 1 A 2
Énergie potentielle d’interaction coulombienne
La force s’écrit :
− →
f 21 = −
1
4p´ 0
q 1 q 2
(A 1 A 2 ) 3
− −− →
A 1 A 2
Donc, par une démonstration analogue à la précédente (obtenue en remplaçant −Gm 1 m 2 par
q 1 q 2
4p´ 0
), on a :
Ep =
1
4p´ 0
q 1 q 2
A 1 A 2
= q 1 V 2 (A 1 )
en notant
V 2 (A 1 ) =
1
4p´ 0
q 2
A 1 A 2
le potentiel électrique créé au point A 1 par la charge q 2 située en A 2 (Cf. cours d’électromagnétisme).
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