© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Théorème de l’énergie cinétique - Énergie mécanique
Soit
− →
f 21 la force exercée par le point A 2 sur le point A 1 , pour un déplacement élémentaire d
− − →
OA 1 :
dW 21 =
− →
f 21 · d
− − →
OA 1
et la définition de l’énergie potentielle conduit à :
dW 21 = −dEp 21
La grandeur Ep 21 est l’énergie potentielle de la particule A 1 liée à l’action du point A 2
sur le point A 1 .
La différentielle de l’énergie potentielle des forces intérieures se met alors sous la
forme :
dEp = dEp 21 + dEp 12 = −
− →
f 21 · d
− − →
OA 1 −
− →
f 12 · d
− − →
OA 2 = −
− →
f 21 · d
− −− →
A 2 A 1
Ep est l’énergie potentielle d’interaction des particules entre elles.
On peut formuler quelques remarques :
1.
− →
f 21 et
− −− →
A 1 A 2 sont colinéaires du fait du principe des actions réciproques donc
− →
f 21 · d
− −− →
A 1 A 2 = f 21 dA 1 A 2
En effet :
− →
f 21 = f 21
− →
u 12 = f 21
− −− →
A 1 A 2
A 1 A 2
en notant − →
u 12 le vecteur unitaire de A 1 A 2 dirigé de A 1 vers A 2 . Alors
− →
f 21 · d
− −− →
A 1 A 2 =
f 21
A 1 A 2
− −− →
A 1 A 2 · d
− −− →
A 1 A 2 =
f 21
A 1 A 2
d (A 1 A 2 )
2
2
=
f 21
A 1 A 2
(A 1 A 2 )dA 1 A 2 = f 21 dA 1 A 2 = −dEp
2. L’énergie d’interaction entre deux particules ne dépend que de la distance entre
les points et non des variations angulaires. C’est un corollaire de la remarque
précédente.
3. De la remarque précédente, on déduit que l’énergie potentielle d’interaction ne
dépend que de la distance relative entre les points matériels. Elle décrit l’opposé
du travail des forces intérieures du système.
Il existe une autre manière de définir l’énergie potentielle d’interaction. Si les deux
particules sont infiniment éloignées l’une de l’autre, ce qu’on qualifie de particules à
l’infini, il est admis que leurs interactions sont nulles ou tout au moins négligeables.
De cette façon, l’énergie potentielle est telle que
Ep(∞) = 0
695