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Théorème du moment cinétique
Dans le cas d’un référentiel non galiléen, on tient compte des forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis en plus des forces extérieures. Dans la suite de ce paragraphe,
on considère que les forces extérieures désignent ce type de forces en référentiel galiléen et qu’elles désignent ce type de forces et les forces d’inertie en référentiel non
galiléen.
Pour établir le théorème du moment cinétique par rapport à un point fixe, on procède
comme pour la résultante cinétique.
Pour les points matériels A 1 et A 2 , le théorème du moment cinétique s’écrit :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
d
− − →
L O,1
dt
=
− −− →
M O,1 =
− − →
OA 1 ∧
− →
f 1 =
− − →
OA 1 ∧
− − →
f 1,ext +
− − →
OA 1 ∧
− →
f 21
d
− − →
L O,2
dt
=
− −− →
M O,2 =
− − →
OA 2 ∧
− →
f 2 =
− − →
OA 2 ∧
− − →
f 2,ext +
− − →
OA 2 ∧
− →
f 12
Soit, en sommant les contributions correspondant à chacun des deux points matériels
du système pour obtenir le moment cinétique résultant :
d
− →
L O
dt
=
d
− − →
L O,1
dt
+
d
− − →
L O,2
dt
=
− − →
OA 1 ∧
− − →
f 1,ext +
− − →
OA 2 ∧
− − →
f 2,ext +
− − →
OA 1 ∧
− →
f 21 +
− − →
OA 2 ∧
− →
f 12
soit :
d
− →
L O
dt
=
− − →
OA 1 ∧
− − →
f 1,ext +
− − →
OA 2 ∧
− − →
f 2,ext
car
− − →
OA 1 ∧
− →
f 21 +
− − →
OA 1 ∧
− →
f 12 =
− →
0 . On note que, dans le cas d’un système isolé, le
moment cinétique par rapport à O est constant.
3.2 Dans le référentiel barycentrique
Le rôle particulier du centre d’inertie qui a été souligné conduit à étudier comment
se traduit le théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique. Soit O
un point fixe du référentiel R. Le théorème de Kœning relatif au moment cinétique
s’écrit :
−−→
L O,R =
− →
L
+
− − →
OG ∧ M − →
v R (G)
On le dérive par rapport au temps :
d
− →
L O
dt
=
d
− →
L
dt
+
d
dt
− − →
OG ∧ M − →
v G
=
d
− →
L
dt
+ − →
v G ∧ M − →
v G +
− − →
OG ∧
d
dt
M − →
v G
d
− →
L O
dt
=
d
− →
L
dt
+
− − →
OG ∧
− →
F ext
Or
d
− →
L O
dt
=
− −−− →
M O,ext =
− −−− →
M G,ext +
− − →
OG ∧
− →
F ext
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