Chapitre 28 – Cinétique d’un système de deux points matériels
Comme on a établi que
− →
P =
− →
0 , on en déduit :
− →
L
O =
− →
L
O
Par conséquent, dans le référentiel barycentrique, le moment cinétique est indépendant du point par rapport auquel on le calcule. On parle de moment cinétique barycentrique et souvent (mais ce n’est pas une obligation) on choisit comme point O le
centre d’inertie G. On le note
− →
L .
3.3 Premier théorème de Koenig : moment cinétique dans le référentiel
barycentrique
On cherche à établir la relation entre le moment cinétique barycentrique et le moment
cinétique par rapport à un point O dans le référentiel R initial.
On part de la relation définissant le moment cinétique par rapport à un point O
dans R :
− →
L O =
− − →
OA 1 ∧ m 1
− → v 1 +
− − →
OA 2 ∧ m 2
− → v 2
La loi de composition des vitesses pour passer du référentiel R au référentiel barycentrique s’écrit :
− → v i =
− →
v
i + − → v e =
− →
v
i + − → v /R (G) où i = 1 ou 2
Donc
− →
L O =
− − →
OA 1 ∧ m 1
− →
v
1 +
− − →
OA 2 ∧ m 2
− →
v
2 +
− − →
OA 1 ∧ m 1
− → v /R (G) +
− − →
OA 2 ∧ m 2
− → v /R (G)
=
− →
L
O +
m 1
− − →
OA 1 + m 2
− − →
OA 2
∧ − → v /R (G)
=
− →
L + M
− − →
OG ∧ − → v /R (G)
On démontre ainsi le premier théorème de Koenig :
Le moment cinétique d’un système de deux points matériels par rapport à un point
O est égal à la somme :
• du moment cinétique par rapport à ce point O d’un point matériel fictif
confondu avec le centre d’inertie où serait concentrée la totalité de la masse du
système,
• du moment cinétique du système de deux points matériels par rapport au centre
d’inertie exprimé dans le référentiel barycentrique.
− →
L O =
− − →
OG ∧ M − → v /R (G) +
− →
L
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