© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Éléments dynamiques d’un système de points matériels
totalité de la masse du système :
− →
P /R = M − → v /R (G)
où − → v /R (G) est la vitesse du centre d’inertie dans le référentiel R.
2.2 Moment cinétique
a) Moment cinétique par rapport à un point O
Pour ne pas alourdir les notations, nous noterons par la suite les vitesses des points − → v 1
et − → v 2 sans préciser le référentiel.
Le moment cinétique d’un système de deux points matériels par rapport à un point
O est défini comme la somme des moments cinétiques de chaque point matériel par
rapport au même point O :
− →
L O =
− − →
L O,1 +
− − →
L O,2 =
− − →
OA 1 ∧ m 1
− → v 1 +
− − →
OA 2 ∧ m 2
− → v 2
Il est à noter que le moment cinétique d’un système de deux points matériels par
rapport à un point O dépend de ce point O. Comme on l’a fait pour un point matériel,
on montre que :
− →
L O =
− →
L O +
− − →
O
O ∧
− →
P =
− →
L O
En effet :
− →
L O =
− −− →
O A 1 ∧ m 1
− → v 1 +
− −− →
O A 2 ∧ m 2
− → v 2
=
− − →
O O +
− − →
OA 1
∧ m 1
− → v 1 +
− − →
O O +
− − →
OA 2
∧ m 2
− → v 2
=
− − →
O O ∧
m 1
− → v 1 + m 2
− → v 2
+
− − →
OA 1 ∧ m 1
− → v 1 +
− − →
OA 2 ∧ m 2
− → v 2
=
− − →
O O ∧
− →
P +
− →
L O
Il n’est pas utile de retenir cette relation : les risques d’inverser l’ordre du produit
vectoriel sont grands ! En revanche, il faut être capable de l’établir rapidement.
2.3 Énergie cinétique
Elle est définie comme la somme des énergies cinétiques de chacun des deux points
matériels constituant le système :
Ec =
1
2
m 1 v
2
1 +
1
2
m 2 v
2
2
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