3. a) Tracer la courbe E p (z) dans le cas v 0 /v = 0, 2.
b) Un dispositif permet de lâcher le bille sans vitesse initiale dans R S . On note z 0 la cote
initiale. Discuter qualitativement le mouvement ultérieur de la bille en fonction de son énergie
mécanique.
5.
Équilibre d’une bille sur une piste en rotation - Bifurcation
V
A
u
Figure 27.7
Un point A de masse m évolue sans frottement sur une piste circulaire de centre O et de rayon r. Ce guide tourne autour de son
diamètre vertical à la vitesse angulaire constante V.
1. Quelles sont les forces auxquelles est soumis le point A dans le
référentiel lié au guide en rotation par rapport à la verticale ?
2. Justifier qu’un raisonnement énergétique est adapté à ce problème.
3. Exprimer l’énergie cinétique de A dans le repère lié au guide en
rotation par rapport à la verticale.
4. Donner l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur et
montrer que la force d’inertie d’entraînement dérive d’un potentiel.
On prendra u =
p
2
comme origine des potentiels.
5. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par u.
6. Quelles sont les positions d’équilibre du point A ?
7. Etudier leur stabilité.
8. Tracer les différentes positions d’équilibre en fonction de V. Il s’agit du diagramme de
bifurcation de ce système.
6.
Étude d’un sismomètre
z
x
O
M
P
a
− → u y
− → u x
Figure 27.8
On définit un référentiel R galiléen lié à l’axe Oz fixe.
Une barre PX fait un angle a avec Oz (figure 27.8). Un
point M de masse m, lié à un ressort (k, 0 ) est mobile sans
frottement sur cette barre. L’accélération de la pesanteur − → g
est uniforme et verticale suivant Oz. Le point M est lié à un
système de freinage (non représenté sur la figure 27.8) qui
exerce une force
− →
F f = −l ˙
X − → u X où − → u X est un vecteur
unitaire selon PX. On note X = PM.
1. Déterminer la position d’équilibre X e de M.
On considère dans la suite que le point P a un mouvement sinusoïdal dans R :
− →
OP = a cos vt − → u z . On définit le
référentiel R
lié à la barre.
2. Déterminer les forces d’inertie s’appliquant à M dans R
. Les projeter sur ( − →
u X , − →
u Y )
(figure 27.8).
3. Écrire la relation fondamentale de la dynamique dans R
et la projeter sur ( − →
u X , − →
u Y ).
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b) Un dispositif permet de lâcher le bille sans vitesse initiale dans R S . On note z 0 la cote
initiale. Discuter qualitativement le mouvement ultérieur de la bille en fonction de son énergie
mécanique.
5.
Équilibre d’une bille sur une piste en rotation - Bifurcation
V
A
u
Figure 27.7
Un point A de masse m évolue sans frottement sur une piste circulaire de centre O et de rayon r. Ce guide tourne autour de son
diamètre vertical à la vitesse angulaire constante V.
1. Quelles sont les forces auxquelles est soumis le point A dans le
référentiel lié au guide en rotation par rapport à la verticale ?
2. Justifier qu’un raisonnement énergétique est adapté à ce problème.
3. Exprimer l’énergie cinétique de A dans le repère lié au guide en
rotation par rapport à la verticale.
4. Donner l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur et
montrer que la force d’inertie d’entraînement dérive d’un potentiel.
On prendra u =
p
2
comme origine des potentiels.
5. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par u.
6. Quelles sont les positions d’équilibre du point A ?
7. Etudier leur stabilité.
8. Tracer les différentes positions d’équilibre en fonction de V. Il s’agit du diagramme de
bifurcation de ce système.
6.
Étude d’un sismomètre
z
x
O
M
P
a
− → u y
− → u x
Figure 27.8
On définit un référentiel R galiléen lié à l’axe Oz fixe.
Une barre PX fait un angle a avec Oz (figure 27.8). Un
point M de masse m, lié à un ressort (k, 0 ) est mobile sans
frottement sur cette barre. L’accélération de la pesanteur − → g
est uniforme et verticale suivant Oz. Le point M est lié à un
système de freinage (non représenté sur la figure 27.8) qui
exerce une force
− →
F f = −l ˙
X − → u X où − → u X est un vecteur
unitaire selon PX. On note X = PM.
1. Déterminer la position d’équilibre X e de M.
On considère dans la suite que le point P a un mouvement sinusoïdal dans R :
− →
OP = a cos vt − → u z . On définit le
référentiel R
lié à la barre.
2. Déterminer les forces d’inertie s’appliquant à M dans R
. Les projeter sur ( − →
u X , − →
u Y )
(figure 27.8).
3. Écrire la relation fondamentale de la dynamique dans R
et la projeter sur ( − →
u X , − →
u Y ).
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