Chapitre 27 – Changement de référentiel : aspects dynamiques
3.
Étude d’un ressort dans un référentiel tournant, d’après ENSTIM 2002
O
M
x
y
− → u x
− → u y
− → u z
vt
− → u u
− → u r
Figure 27.6
Un palet M de masse m peut se mouvoir sans frottement dans le plan (O, x, y) horizontal (table à coussin d’air par exemple). Il est accroché à l’extrémité
d’un ressort de longueur à vide 0 , de raideur k,
dont l’autre extrémité est fixée en O. Le champ de
pesanteur est suivant la verticale Oz : − → g = g − → u z .
On définit deux référentiels :
• Le référentiel R galiléen associé au repère fixe
(0, − → u x , − → u y , − → u z ).
• Le référentiel R
associé au repère
(0, − → u r , − → u u , − → u z ), en rotation par rapport à R avec
un vecteur rotation − → v = v − → u z .
On lance la particule d’un point M 0 , tel que
−−→
OM 0 = 1
− → u x , avec une vitesse initiale − → v 0 = 1 v − → u y .
Le mouvement est étudié dans le référentiel R
. La
position de M est repérée dans la base ( − → u r , − → u u ) par
− − →
OM = r − → u r sachant qu’à t = 0, − → u r = − → u x .
1. Préciser les expressions vectorielles des forces d’inertie dans la base ( − → u r , − → u u , − → u z ).
2. Montrer que la force d’inertie d’entraînement dérive d’une énergie potentielle que l’on
précisera.
3. En est-il de même pour la force d’inertie de Coriolis ou complémentaire ?
4. Déterminer l’énergie potentielle totale E p . Tracer l’allure de E p (r). On distinguera les 3 cas
possibles selon la valeur de v.
5. Déterminer la longueur 2 correspondant à la position d’équilibre dans le référentiel R
.
6. À quelle condition sur v le résultat est-il possible ? Cet équilibre est-il stable ?
7. Quel est alors le mouvement dans le référentiel R ?
8. Comparer 2 à 1 .
4.
Équilibre dans un bol en rotation
Une bille assimilée à un point matériel M, de masse m est astreinte à se déplacer, sans frottement, sur la surface intérieure d’une demi-sphère creuse (S). Cette surface tourne uniformément, à la vitesse angulaire v constante, autour de son axe de révolution vertical (Oz). On
appelle r 0 la rayon intérieur de la sphère, et v 0 la grandeur
2g/r 0 , g étant l’accélération de la
pesanteur. On note R L le référentiel du laboratoire galiléen et R S le référentiel lié à (S).
1. Déterminer l’énergie potentielle de M dans le référentiel R S . On utilisera un repère cylindrique d’axe Oz, O centre de la sphère complète. Monter qu’elle peut se mettre sous la forme :
E p =
1
2
mv
2 z
v 0
v
2
r 0 + z
2. Déterminer les cotes z e des positions d’équilibre de M dans R S ainsi que leur stabilité en
fonction de la valeur de v 0 /v. Représenter z e en fonction de v/v 0 .
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Étude d’un ressort dans un référentiel tournant, d’après ENSTIM 2002
O
M
x
y
− → u x
− → u y
− → u z
vt
− → u u
− → u r
Figure 27.6
Un palet M de masse m peut se mouvoir sans frottement dans le plan (O, x, y) horizontal (table à coussin d’air par exemple). Il est accroché à l’extrémité
d’un ressort de longueur à vide 0 , de raideur k,
dont l’autre extrémité est fixée en O. Le champ de
pesanteur est suivant la verticale Oz : − → g = g − → u z .
On définit deux référentiels :
• Le référentiel R galiléen associé au repère fixe
(0, − → u x , − → u y , − → u z ).
• Le référentiel R
associé au repère
(0, − → u r , − → u u , − → u z ), en rotation par rapport à R avec
un vecteur rotation − → v = v − → u z .
On lance la particule d’un point M 0 , tel que
−−→
OM 0 = 1
− → u x , avec une vitesse initiale − → v 0 = 1 v − → u y .
Le mouvement est étudié dans le référentiel R
. La
position de M est repérée dans la base ( − → u r , − → u u ) par
− − →
OM = r − → u r sachant qu’à t = 0, − → u r = − → u x .
1. Préciser les expressions vectorielles des forces d’inertie dans la base ( − → u r , − → u u , − → u z ).
2. Montrer que la force d’inertie d’entraînement dérive d’une énergie potentielle que l’on
précisera.
3. En est-il de même pour la force d’inertie de Coriolis ou complémentaire ?
4. Déterminer l’énergie potentielle totale E p . Tracer l’allure de E p (r). On distinguera les 3 cas
possibles selon la valeur de v.
5. Déterminer la longueur 2 correspondant à la position d’équilibre dans le référentiel R
.
6. À quelle condition sur v le résultat est-il possible ? Cet équilibre est-il stable ?
7. Quel est alors le mouvement dans le référentiel R ?
8. Comparer 2 à 1 .
4.
Équilibre dans un bol en rotation
Une bille assimilée à un point matériel M, de masse m est astreinte à se déplacer, sans frottement, sur la surface intérieure d’une demi-sphère creuse (S). Cette surface tourne uniformément, à la vitesse angulaire v constante, autour de son axe de révolution vertical (Oz). On
appelle r 0 la rayon intérieur de la sphère, et v 0 la grandeur
2g/r 0 , g étant l’accélération de la
pesanteur. On note R L le référentiel du laboratoire galiléen et R S le référentiel lié à (S).
1. Déterminer l’énergie potentielle de M dans le référentiel R S . On utilisera un repère cylindrique d’axe Oz, O centre de la sphère complète. Monter qu’elle peut se mettre sous la forme :
E p =
1
2
mv
2 z
v 0
v
2
r 0 + z
2. Déterminer les cotes z e des positions d’équilibre de M dans R S ainsi que leur stabilité en
fonction de la valeur de v 0 /v. Représenter z e en fonction de v/v 0 .
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