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Composition des accélérations
On cherche à donner une interprétation physique intrinsèque des accélérations d’entraînement et de Coriolis. On commence pour ce faire par étudier les cas particuliers
où le référentiel R est en translation par rapport au référentiel R, puis celui où le
référentiel R
est en rotation autour d’un axe fixe de R.
3.2 Cas où R’ est en translation par rapport à R
Dans le cas d’une translation de R’ par rapport à R, (
− →
u
x ,
−
→
u
y ,
−
→
u
z ) gardent des directions
fixes par rapport à ( − → u x , −
→ u y , − → u z ) donc les dérivées de ces vecteurs par rapport au temps
sont nulles.
On en déduit les expressions des accélérations d’entraînement et de Coriolis dans ce
cas :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
− → a e (M) =
d
2
− − →
OO
dt 2
− → a c (M) =
− →
0
L’accélération d’entraînement n’est autre que l’accélération de l’origine ou de n’importe quel point fixe dans le référentiel mobile par rapport au référentiel fixe.
L’accélération de Coriolis est nulle dans ce cas.
3.3 Cas où R’ est en rotation par rapport à R
Comme pour l’étude de la composition des vitesses, on se place dans le cadre suivant
(qui ne réduit pas le caractère général du résultat) :
• on utilise les coordonnées cartésiennes,
• on choisit l’axe Oz selon l’axe de rotation,
• on note u l’angle de rotation et
− →
V = v
− →
u
z =
du
dt
− →
u
z le vecteur rotation instantané.
On va établir à partir de ces hypothèses une expression intrinsèque des accélérations
d’entraînement et de Coriolis.
a) Accélération d’entraînement
L’accélération d’entraînement est celle du point coïncidant qui, dans le cas où R’ est
en rotation par rapport à R, a une trajectoire circulaire de rayon r = HM, en notant
H la projection orthogonale de M sur l’axe de rotation Oz, sa vitesse angulaire étant
v(t). L’accélération d’entraînement est donc celle d’un mouvement circulaire, à savoir
en coordonnées polaires dans le plan perpendiculaire à Oz passant par M :
− → a e (M) = −rv
2− → u r + r
dv
dt
− → u u
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Composition des accélérations
On cherche à donner une interprétation physique intrinsèque des accélérations d’entraînement et de Coriolis. On commence pour ce faire par étudier les cas particuliers
où le référentiel R est en translation par rapport au référentiel R, puis celui où le
référentiel R
est en rotation autour d’un axe fixe de R.
3.2 Cas où R’ est en translation par rapport à R
Dans le cas d’une translation de R’ par rapport à R, (
− →
u
x ,
−
→
u
y ,
−
→
u
z ) gardent des directions
fixes par rapport à ( − → u x , −
→ u y , − → u z ) donc les dérivées de ces vecteurs par rapport au temps
sont nulles.
On en déduit les expressions des accélérations d’entraînement et de Coriolis dans ce
cas :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
− → a e (M) =
d
2
− − →
OO
dt 2
− → a c (M) =
− →
0
L’accélération d’entraînement n’est autre que l’accélération de l’origine ou de n’importe quel point fixe dans le référentiel mobile par rapport au référentiel fixe.
L’accélération de Coriolis est nulle dans ce cas.
3.3 Cas où R’ est en rotation par rapport à R
Comme pour l’étude de la composition des vitesses, on se place dans le cadre suivant
(qui ne réduit pas le caractère général du résultat) :
• on utilise les coordonnées cartésiennes,
• on choisit l’axe Oz selon l’axe de rotation,
• on note u l’angle de rotation et
− →
V = v
− →
u
z =
du
dt
− →
u
z le vecteur rotation instantané.
On va établir à partir de ces hypothèses une expression intrinsèque des accélérations
d’entraînement et de Coriolis.
a) Accélération d’entraînement
L’accélération d’entraînement est celle du point coïncidant qui, dans le cas où R’ est
en rotation par rapport à R, a une trajectoire circulaire de rayon r = HM, en notant
H la projection orthogonale de M sur l’axe de rotation Oz, sa vitesse angulaire étant
v(t). L’accélération d’entraînement est donc celle d’un mouvement circulaire, à savoir
en coordonnées polaires dans le plan perpendiculaire à Oz passant par M :
− → a e (M) = −rv
2− → u r + r
dv
dt
− → u u
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