Chapitre 26 – Changement de référentiel : aspects cinématiques
Alors en dérivant cette expression :
− → v /R (M) =
d
− − →
OM
dt
R
=
d
− − →
OO
dt
R
+ ˙
x
− →
u
x + x
d
− →
u
x
dt
+ ˙
y
− →
u
y + y
d
− →
u
y
dt
+ ˙
z
− →
u
z + z
d
− →
u
z
dt
=
d
− − →
OO
dt
R
+ x
d
− →
u
x
dt
+ y
d
− →
u
y
dt
+ z
d
− →
u
z
dt
+ − → v /R (M)
Soit P le point coïncidant, alors
− − →
O P = x − →
u
x + y − →
u
y + z − →
u
z avec x , y et z constantes
dans le référentiel R’ par définition même de ce point. On a donc : − → v /R (P) =
− →
0 .
En appliquant la relation précédente au point coïncidant, on obtient l’expression de
sa vitesse du point évaluée dans le référentiel fixe R :
− → v /R (P) =
d
− − →
OO
dt
R
+ x
d
− →
u
x
dt
+ y
d
− →
u
y
dt
+ z
d
− →
u
z
dt
Il s’agit par définition de la vitesse d’entraînement.
On en déduit la relation de la loi de composition des vitesses :
− → v /R (M) = − → v /R (M) + − → v e (M)
2.2 Cas où R’ est en translation par rapport à R
Dans ce cas, les axes ne subissent aucune rotation donc les vecteurs unitaires sont fixes
dans le référentiel R :
d
− →
u
x
dt
=
d
− →
u
y
dt
=
d
− →
u
z
dt
=
− →
0
et on en déduit l’expression de la vitesse d’entraînement :
− → v e (M) =
d
− − →
OO
dt
R
Elle est alors indépendante du point M.
La vitesse d’entraînement n’est dans ce cas que la vitesse de l’origine O (ou de tout
autre point fixe par rapport au référentiel mobile) par rapport au référentiel fixe.
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