a) Calculer
− →
L 0 . Quelle est la nature de la trajectoire ?
b) Déterminer l’évolution temporelle de la longueur du ressort, (t) = OM(t). Préciser l’intervalle de variation de .
3. On lance la particule d’un point
−−→
OM 0 =
− − →
OM(t = 0) = 1
− → u x , avec une vitesse initiale
− → v 0 = 1 v − → u y , orthogonale à
−−→
OM 0 . Dans la suite, on travaillera en coordonnées polaires dans le
plan (O, x, y).
a) Préciser
− →
L 0 en fonction de r, ˙
u puis en fonction des conditions initiales et des vecteurs de
base. On notera L le module de
− →
L 0 .
b) Rappeler l’expression de l’énergie potentielle élastique. Doit-on tenir compte de l’énergie
potentielle de pesanteur pour étudier le mouvement ?
Montrer qu’il y a conservation de l’énergie mécanique E m .
Préciser l’expression de E m :
• en fonction des conditions initiales,
• en fonction de r, ˙
r, ˙
u, m, k et 0 .
c) Montrer que l’énergie mécanique peut s’écrire : E m =
1
2
m˙ r
2 + E eff (r).
Préciser l’expression de E eff (r) et tracer son allure.
d) La masse peut-elle s’éloigner indéfiniment du pôle d’attraction ?
e) La vitesse de la particule peut-elle s’annuler au cours du mouvement ?
f) La particule peut-elle passer par le centre d’attraction u cours de son mouvement ?
4. On cherche à déterminer une condition entre 1 et v pour avoir un mouvement circulaire.
a) Montrer que dans ce cas, le mouvement est uniforme.
b) Déterminer 1 en fonction de k, 0 et v. Est-elle valable pour tout v ?
643
− →
L 0 . Quelle est la nature de la trajectoire ?
b) Déterminer l’évolution temporelle de la longueur du ressort, (t) = OM(t). Préciser l’intervalle de variation de .
3. On lance la particule d’un point
−−→
OM 0 =
− − →
OM(t = 0) = 1
− → u x , avec une vitesse initiale
− → v 0 = 1 v − → u y , orthogonale à
−−→
OM 0 . Dans la suite, on travaillera en coordonnées polaires dans le
plan (O, x, y).
a) Préciser
− →
L 0 en fonction de r, ˙
u puis en fonction des conditions initiales et des vecteurs de
base. On notera L le module de
− →
L 0 .
b) Rappeler l’expression de l’énergie potentielle élastique. Doit-on tenir compte de l’énergie
potentielle de pesanteur pour étudier le mouvement ?
Montrer qu’il y a conservation de l’énergie mécanique E m .
Préciser l’expression de E m :
• en fonction des conditions initiales,
• en fonction de r, ˙
r, ˙
u, m, k et 0 .
c) Montrer que l’énergie mécanique peut s’écrire : E m =
1
2
m˙ r
2 + E eff (r).
Préciser l’expression de E eff (r) et tracer son allure.
d) La masse peut-elle s’éloigner indéfiniment du pôle d’attraction ?
e) La vitesse de la particule peut-elle s’annuler au cours du mouvement ?
f) La particule peut-elle passer par le centre d’attraction u cours de son mouvement ?
4. On cherche à déterminer une condition entre 1 et v pour avoir un mouvement circulaire.
a) Montrer que dans ce cas, le mouvement est uniforme.
b) Déterminer 1 en fonction de k, 0 et v. Est-elle valable pour tout v ?
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