Chapitre 25 – Théorème du moment cinétique
2. À l’aide de l’inégalité précédente, montrer que si l’énergie mécanique est négative, la distance r du point matériel au centre attractif O reste comprise entre deux valeurs r 1 et r 2 à
déterminer.
3. Montrer que dans ces conditions, s O ne peut être supérieur à une valeur s m que l’on
calculera. Quelle est la trajectoire pour s O = s m ?
4. Montrer que si E m = 0, on a r > r m où r m est à calculer en fonction de K, m et s 0 .
2.
Pendule sur un plan incliné
x
z
u
a
M
O
O
+
Figure 25.4
Un pendule simple est constitué d’un point M de masse
m attaché à un fil de masse négligeable, de longueur L.
L’autre extrémité du fil est accrochée à un point O fixe.
L’ensemble peut se déplacer sans frottement sur un plan
incliné faisant un angle a avec le plan horizontal (figure
25.4). On pourra introduire une base polaire ( − → u r , − → u u )
non représentée, avec − → u r =
− − →
OM/OM et − → u u le vecteur
directement perpendiculaire dans le plan perpendiculaire à Oz.
1. Exprimer le moment cinétique de M par rapport
à O.
2. a) Déterminer la projection des différentes forces sur
la base ( − → u r , − → u u , − → u z ).
b) En appliquant le théorème du moment cinétique en O, déterminer l’équation différentielle
du mouvement et la période des petites oscillations. Effectuer l’application numérique pour
a = 30
◦ .
c) On lance depuis u = 0 le pendule avec une vitesse v 0 . Déterminer l’angle maximal atteint,
en supposant qu’on reste dans le domaine des petites oscillations.
3.
Ressort en rotation d’après ENSTIM 2002
O
M
x
y
− → u x
− → u y
− → u z
vt
− → u u
− → u r
Figure 25.5
Le mouvement est étudié dans le référentiel du laboratoire assimilé à un référentiel galiléen et associé à un
repère (O, − → u x , − → u y , − → u z ). Un palet M de masse m peut se
mouvoir sans frottement dans le plan (O, x, y, z) horizontal (table à coussin d’air par exemple). Le champ de
pesanteur est suivant la verticale Oz : − → g = −g − → u z .
Un point M (masse m) est fixé à un ressort de raideur
k et de longueur à vide 0 , l’autre extrémité étant fixée
en O.
1. Faire un bilan des forces. Montrer qu’il y a conservation du moment cinétique
− →
L 0 par rapport à O.
2. À t = 0, la masse est lâchée, sans vitesse initiale
d’une longueur :
i = 1, 2 0 soit
− − →
OM(t = 0) = 1, 2 0
− → u x
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2. À l’aide de l’inégalité précédente, montrer que si l’énergie mécanique est négative, la distance r du point matériel au centre attractif O reste comprise entre deux valeurs r 1 et r 2 à
déterminer.
3. Montrer que dans ces conditions, s O ne peut être supérieur à une valeur s m que l’on
calculera. Quelle est la trajectoire pour s O = s m ?
4. Montrer que si E m = 0, on a r > r m où r m est à calculer en fonction de K, m et s 0 .
2.
Pendule sur un plan incliné
x
z
u
a
M
O
O
+
Figure 25.4
Un pendule simple est constitué d’un point M de masse
m attaché à un fil de masse négligeable, de longueur L.
L’autre extrémité du fil est accrochée à un point O fixe.
L’ensemble peut se déplacer sans frottement sur un plan
incliné faisant un angle a avec le plan horizontal (figure
25.4). On pourra introduire une base polaire ( − → u r , − → u u )
non représentée, avec − → u r =
− − →
OM/OM et − → u u le vecteur
directement perpendiculaire dans le plan perpendiculaire à Oz.
1. Exprimer le moment cinétique de M par rapport
à O.
2. a) Déterminer la projection des différentes forces sur
la base ( − → u r , − → u u , − → u z ).
b) En appliquant le théorème du moment cinétique en O, déterminer l’équation différentielle
du mouvement et la période des petites oscillations. Effectuer l’application numérique pour
a = 30
◦ .
c) On lance depuis u = 0 le pendule avec une vitesse v 0 . Déterminer l’angle maximal atteint,
en supposant qu’on reste dans le domaine des petites oscillations.
3.
Ressort en rotation d’après ENSTIM 2002
O
M
x
y
− → u x
− → u y
− → u z
vt
− → u u
− → u r
Figure 25.5
Le mouvement est étudié dans le référentiel du laboratoire assimilé à un référentiel galiléen et associé à un
repère (O, − → u x , − → u y , − → u z ). Un palet M de masse m peut se
mouvoir sans frottement dans le plan (O, x, y, z) horizontal (table à coussin d’air par exemple). Le champ de
pesanteur est suivant la verticale Oz : − → g = −g − → u z .
Un point M (masse m) est fixé à un ressort de raideur
k et de longueur à vide 0 , l’autre extrémité étant fixée
en O.
1. Faire un bilan des forces. Montrer qu’il y a conservation du moment cinétique
− →
L 0 par rapport à O.
2. À t = 0, la masse est lâchée, sans vitesse initiale
d’une longueur :
i = 1, 2 0 soit
− − →
OM(t = 0) = 1, 2 0
− → u x
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