2. Déterminer l’énergie mécanique E m de M ; on montrera que la force de traction dérive
d’une énergie potentielle E p que l’on exprimera en utilisant les coordonnées cylindriques. On
prendra E p = 0 pour OM = 0.
3. a) Montrer que l’on peut se ramener à un problème à une dimension et définir la fonction
énergie potentielle efficace.
b) Étudier ses variations en fonction de r = OM. Montrer qu’elle passe par un minimum
pour r 1 =
mV
2
0 D
2
F
1/3
.
c) Tracer le graphe correspondant et faire apparaître l’énergie mécanique. Déterminer graphiquement les deux distances extrêmes de M à O ; à quelle condition sur F la position initiale
est-elle le point de la trajectoire le plus éloigné de O ? Le point matériel peut-il arriver jusqu’à O ?
d) Quelle valeur faut-il donner à F pour observer un mouvement circulaire ? Montrer qu’alors
il est nécessairement uniforme.
4.
Perle sur un cerceau
Une perle de masse m peut se déplacer sans frottement sur un cerceau de rayon r. On suppose
que le référentiel terrestre est galiléen. Établir l’équation différentielle du mouvement de la
perle en appliquant le théorème du moment cinétique.
5.
Saut à ski
On assimile un skieur à un point matériel S de masse m = 70 kg. Il aborde une piste circulaire
de rayon R = 60 m sans vitesse initiale à partir d’un angle a 0 = 25
◦ par rapport à l’horizontale.
Il quitte la piste pour a 1 = 110
◦ . On suppose que la piste est suffisamment verglacé pour
négliger tout frottement sur la piste.
1. Établir l’équation du mouvement du skieur lorsqu’il est sur la piste. On pourra appliquer
le théorème du moment cinétique.
2. En déduire l’expression de la vitesse du skieur en fonction de l’angle a repérant le skieur
par rapport à l’horizontale.
3. Calculer la vitesse maximale atteinte par le skieur.
B. Exercices et problème
1.
Étude du mouvement radial dans un potentiel central
Un point matériel M de masse m se déplace dans un champ de forces dérivant d’un potentiel
E p (r) = −
Km
r
où K est une constante positive et r = OM (O centre du repère). On note s O
le moment cinétique de M par rapport à O.
1. Calculer l’énergie mécanique E m et faire apparaître l’énergie potentielle efficace E p,eff que
l’on exprimera en fonction de r, s O , m et K. Montrer que le mouvement ne peut avoir lieu
que si E m E p,eff
641
d’une énergie potentielle E p que l’on exprimera en utilisant les coordonnées cylindriques. On
prendra E p = 0 pour OM = 0.
3. a) Montrer que l’on peut se ramener à un problème à une dimension et définir la fonction
énergie potentielle efficace.
b) Étudier ses variations en fonction de r = OM. Montrer qu’elle passe par un minimum
pour r 1 =
mV
2
0 D
2
F
1/3
.
c) Tracer le graphe correspondant et faire apparaître l’énergie mécanique. Déterminer graphiquement les deux distances extrêmes de M à O ; à quelle condition sur F la position initiale
est-elle le point de la trajectoire le plus éloigné de O ? Le point matériel peut-il arriver jusqu’à O ?
d) Quelle valeur faut-il donner à F pour observer un mouvement circulaire ? Montrer qu’alors
il est nécessairement uniforme.
4.
Perle sur un cerceau
Une perle de masse m peut se déplacer sans frottement sur un cerceau de rayon r. On suppose
que le référentiel terrestre est galiléen. Établir l’équation différentielle du mouvement de la
perle en appliquant le théorème du moment cinétique.
5.
Saut à ski
On assimile un skieur à un point matériel S de masse m = 70 kg. Il aborde une piste circulaire
de rayon R = 60 m sans vitesse initiale à partir d’un angle a 0 = 25
◦ par rapport à l’horizontale.
Il quitte la piste pour a 1 = 110
◦ . On suppose que la piste est suffisamment verglacé pour
négliger tout frottement sur la piste.
1. Établir l’équation du mouvement du skieur lorsqu’il est sur la piste. On pourra appliquer
le théorème du moment cinétique.
2. En déduire l’expression de la vitesse du skieur en fonction de l’angle a repérant le skieur
par rapport à l’horizontale.
3. Calculer la vitesse maximale atteinte par le skieur.
B. Exercices et problème
1.
Étude du mouvement radial dans un potentiel central
Un point matériel M de masse m se déplace dans un champ de forces dérivant d’un potentiel
E p (r) = −
Km
r
où K est une constante positive et r = OM (O centre du repère). On note s O
le moment cinétique de M par rapport à O.
1. Calculer l’énergie mécanique E m et faire apparaître l’énergie potentielle efficace E p,eff que
l’on exprimera en fonction de r, s O , m et K. Montrer que le mouvement ne peut avoir lieu
que si E m E p,eff
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