A. Applications directes du cours
1.
Véhicule sur une colline
Un véhicule M de masse m se déplace de haut en bas d’une colline ; la trajectoire est assimilée
à un quart de cercle vertical de centre O et de rayon R. On note u, l’angle que fait OM
avec la verticale. Il démarre du point le plus haut (u = 0) avec une vitesse v 0 . Il n’y a pas de
frottement.
1. En appliquant le théorème du moment cinétique par rapport à O, déterminer une équation
différentielle en fonction de u et ses dérivées.
2. Intégrer cette équation après l’avoir multipliée par
du
dt
, et déterminer l’expression de
du
dt
.
2.
Modèle de l’atome d’hydrogène
Soit un proton O de charge +e fixe, et un électron M de charge −e en mouvement circulaire
uniforme (rayon R) autour du proton. L’expérience montre que l’énergie totale du système
est quantifiée, c’est-à-dire qu’elle peut s’écrire sous la forme :
E m = −
k
n 2
où n est un entier naturel et k une constante positive ne dépendant que des caractéristiques du
système.
1. Calculer la force s’exerçant sur M et l’énergie de M en coordonnées polaires de centre O.
En déduire la vitesse v et le rayon R en fonction de e 0 , k, e et n.
2. Calculer le moment cinétique
− →
L O de l’électron par rapport à O. Montrer qu’il est luimême quantifié de la forme L O = nC où C est une constante à déterminer
3.
Point matériel lié à un fil
M
O
u
− → u r
− → u u
x
− →
F
Figure 25.3
Un point matériel M de masse m se déplace
sans frottement sur un plan horizontal. Il est
attaché à un fil de masse négligeable. Le plan
est percé au point O choisi pour origine, le
fil traverse le plan en O ; un opérateur exerce
sur l’autre extrémité du fil une force de traction de module F constant.
À t = 0, le point M se trouve sur l’axe Ox à
une distance D de O, sa vitesse est alors V 0 ,
colinéaire à Oy.
1. Montrer que le moment cinétique
− →
L O
en O de M se conserve pendant toute la
durée de la traction. Calculer son module
et sa direction. Définir la vitesse aréolaire et
montrer que le mouvement de M se fait suivant la loi des aires (voir chapitre 30, paragraphe 4.5).
640
1.
Véhicule sur une colline
Un véhicule M de masse m se déplace de haut en bas d’une colline ; la trajectoire est assimilée
à un quart de cercle vertical de centre O et de rayon R. On note u, l’angle que fait OM
avec la verticale. Il démarre du point le plus haut (u = 0) avec une vitesse v 0 . Il n’y a pas de
frottement.
1. En appliquant le théorème du moment cinétique par rapport à O, déterminer une équation
différentielle en fonction de u et ses dérivées.
2. Intégrer cette équation après l’avoir multipliée par
du
dt
, et déterminer l’expression de
du
dt
.
2.
Modèle de l’atome d’hydrogène
Soit un proton O de charge +e fixe, et un électron M de charge −e en mouvement circulaire
uniforme (rayon R) autour du proton. L’expérience montre que l’énergie totale du système
est quantifiée, c’est-à-dire qu’elle peut s’écrire sous la forme :
E m = −
k
n 2
où n est un entier naturel et k une constante positive ne dépendant que des caractéristiques du
système.
1. Calculer la force s’exerçant sur M et l’énergie de M en coordonnées polaires de centre O.
En déduire la vitesse v et le rayon R en fonction de e 0 , k, e et n.
2. Calculer le moment cinétique
− →
L O de l’électron par rapport à O. Montrer qu’il est luimême quantifié de la forme L O = nC où C est une constante à déterminer
3.
Point matériel lié à un fil
M
O
u
− → u r
− → u u
x
− →
F
Figure 25.3
Un point matériel M de masse m se déplace
sans frottement sur un plan horizontal. Il est
attaché à un fil de masse négligeable. Le plan
est percé au point O choisi pour origine, le
fil traverse le plan en O ; un opérateur exerce
sur l’autre extrémité du fil une force de traction de module F constant.
À t = 0, le point M se trouve sur l’axe Ox à
une distance D de O, sa vitesse est alors V 0 ,
colinéaire à Oy.
1. Montrer que le moment cinétique
− →
L O
en O de M se conserve pendant toute la
durée de la traction. Calculer son module
et sa direction. Définir la vitesse aréolaire et
montrer que le mouvement de M se fait suivant la loi des aires (voir chapitre 30, paragraphe 4.5).
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