© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Exemple d’utilisation du théorème du moment cinétique
en tenant compte du fait que r = l est constant.
On projette le principe fondamental de la dynamique suivant − → u u : on s’affranchit ainsi
de la tension
− →
R qui n’a de composante non nulle que sur − → u r . On obtient :
ml ¨
u = −mg sin u
soit
¨
u +
g
l
sin u = 0
ce qui est bien la même équation que celle que l’on obtient en appliquant le théorème
du moment cinétique en O.
4.3 Méthode énergétique
La réaction
− →
R est perpendiculaire au mouvement et ne travaille donc pas. Le poids
est une force conservative. Par conséquent, on a conservation de l’énergie mécanique
soit, en explicitant son expression dans le système de coordonnées choisi :
Em = Ep + Ec = −mgl cos u + C +
1
2
m
l ˙
u
2
en notant C la constante de l’énergie potentielle de pesanteur. On note qu’il n’est
pas nécessaire de préciser la valeur de C puisqu’on va dériver l’expression de l’énergie
mécanique pour obtenir l’équation du mouvement et que la dérivée d’une constante
est nulle. Par dérivation, on obtient :
ml ˙
u ¨
u + mgl sin u ˙
u = 0
Comme on considère le cas du mouvement, le cas ˙
u = 0 est inintéressant. Par conséquent, on en déduit après simplification :
¨
u +
g
l
sin u = 0
ce qui est encore une fois la même équation.
4.4 Quelle méthode choisir ?
La bonne méthode en mécanique du point est celle qui élimine les forces inconnues
(les tensions de fils et les réactions de support essentiellement). Dans le cas présent, la
projection du principe fondamental de la dynamique sur une direction orthogonale à
− →
R ou le théorème du moment cinétique ou une approche énergétique remplissent ce
critère : les trois méthodes sont bonnes, aucune n’apparaît préférable à l’autre.
639