Chapitre 25 – Théorème du moment cinétique
On calcule en
− →
L O coordonnées cylindriques :
− →
L O =
− − →
OM ∧ m − → v =
l
0
0
∧
0
ml ˙
u
0
=
0
0
ml
2 ˙
u
Donc :
d
− →
L O
dt
=
d
dt
ml
2 ˙
u − → u z
= ml
2 ¨
u − → u z
La droite d’action de
− →
R passe par O donc
− − →
M O (
− →
R ) =
− →
0 .
Quant au poids, son moment par rapport à O est égal au produit de mg par la distance
de la droite d’action de m − → g à l’axe Oz c’est-à-dire l sin u. Pour connaître le signe du
moment, on regarde dans quel sens le poids a tendance à faire tourner le point. Ici,
c’est dans le sens négatif de − → u z donc :
− − →
M 0
m − → g
= −mgl sin u − → u z
On note qu’il est également possible d’obtenir ce résultat par un calcul direct :
− − →
M 0 (m − → g ) =
− − →
OM ∧ m − → g =
l
0
0
∧
mg cos u
−mg sin u
0
=
0
0
−mgl sin u
On obtient finalement :
ml
2 ¨
u = −mgl sin u
et l’équation du mouvement est :
¨
u +
g
l
sin u = 0
La résolution de cette équation différentielle non linéaire (du fait de la présence du
terme sin u) n’est pas simple et on ne détaillera pas plus ici le mouvement.
4.2 Résolution par le principe fondamental de la dynamique
Le principe fondamental de la dynamique s’écrit :
m − → a = m − → g +
− →
R
On se place en coordonnées polaires dans le plan vertical où s’effectue le mouvement
du pendule. L’expression de l’accélération est :
− → a = −l ˙
u
2− → u r + l ¨
u − → u u
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