Chapitre 25 – Théorème du moment cinétique
Lorsque le point O n’est pas fixe, il faut tenir compte d’un terme supplémentaire :
m − → v /R (M) ∧ − → v /R (O)
qui ne s’annule généralement pas. Cela complique habituellement la résolution et on
évitera donc de choisir un point O qui n’est pas fixe. Les seuls cas où ce terme disparaît
sont :
• si les vitesses des points O et M sont colinéaires, auquel cas le produit vectoriel est
nul,
• si la vitesse du point O est nul, à savoir le cas où O est fixe,
• si le point M est immobile, ce qui a priori a peu de chances de se produire sauf si
on se trouve à l’équilibre.
On n’appliquera le théorème du moment cinétique qu’en un point fixe O.
Ce théorème est particulièrement efficace lorsque la somme des moments des forces
est nulle, ce qui est, par exemple, le cas lorsque toutes les forces ont une droite
d’action passant par un même point fixe et qu’on choisit ce point comme référence
pour le moment cinétique. On verra lors de l’étude du mouvement à force centrale
(qui correspond au cas qui vient d’être décrit) le grand intérêt de ce théorème.
3.3 Théorème du moment cinétique par rapport à un axe
On rappelle que le moment par rapport à un axe D est le produit scalaire entre le
moment par rapport à un point de cet axe et un vecteur unitaire directeur de cet axe.
De ce fait, le théorème du moment cinétique par rapport à un axe se déduit du même
théorème par rapport à un point. Dans un référentiel galiléen :
d
− →
L O/R
dt
=
i
− − →
M O
− →
f i
qu’on multiplie scalairement par − → u D un vecteur directeur unitaire de D l’axe fixe
considéré :
d
− →
L O/R
dt
· − → u D =
i
− − →
M O
− →
f i
· − → u D =
i
M D
− →
f i
Comme − → u D est un vecteur constant puisque l’axe est fixe, on a :
d
− →
L O/R
dt
· − → u D =
d
− →
L O/R . − → u D
dt
=
dL D
dt
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