© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Théorème du moment cinétique en référentiel galiléen
soit en dérivant le produit vectoriel :
d
− →
L O/R (M)
dt
=
d
− − →
OM
dt
∧ m − → v /R (M) +
− − →
OM ∧
d
m − → v /R (M)
dt
Or, O étant fixe,
d
− − →
OM
dt
= m − → v /R (M).
En utilisant le principe fondamental de la dynamique, on déduit :
d
− →
L O/R (M)
dt
= − → v /R (M) ∧ m − → v /R (M) +
− − →
OM ∧
i
− →
f i
Or − → v /R (M) ∧ − → v /R (M) =
− →
0 et
− − →
OM ∧
i
− →
f i =
i
− − →
OM ∧
− →
f i donc :
d
− →
L O/R (M)
dt
=
i
− − →
OM ∧
− →
f i
Ce qui donne, avec la définition du moment d’une force par rapport à un point :
d
− →
L O/R (M)
dt
=
i
− − →
M O (
− →
f i )
3.2 Cas où le point O n’est pas fixe
Dans ce cas, il est toujours possible d’introduire un point A fixe dans le référentiel
galiléen considéré.
On décompose :
− − →
OM =
−→
OA +
− − →
AM. En considérant toujours toutes les quantités
définies par rapport au référentiel galiléen, la démonstration précédente devient alors :
d
− →
L O/R (M)
dt
=
d
− − →
OM
dt
∧ m − → v /R (M) +
− − →
OM ∧
d
m − → v /R (M)
dt
=
d
− − →
AM
dt
∧ m − → v /R (M) −
d
−→
AO
dt
∧ m − → v /R (M) +
− − →
OM ∧
d
m − → v /R (M)
dt
= − → v /R (M) ∧ m − → v /R (M) − − → v /R (O) ∧ m − → v /R (M) +
− − →
OM ∧
i
− →
f i
=
− →
0 − − → v /R (O) ∧ m − → v /R (M) +
i
− − →
OM ∧
− →
f i
= − − → v /R (O) ∧ m − → v /R (M) +
i
− − →
M 0 (
− →
f i )
=
i
− − →
M 0 (
− →
f i ) + m − → v /R (M) ∧ − → v /R (O)
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