Chapitre 25 – Théorème du moment cinétique
1.2 Dépendance du moment cinétique par rapport au point considéré
Le moment cinétique dépend du point par rapport auquel on le détermine.
− →
L O /R (M) =
−−→
O M ∧ − → p /R (M)
=
− − →
O O +
− − →
OM
∧ − → p /R (M)
=
− − →
O O ∧ − → p /R (M) +
− − →
OM ∧ − → p /R (M)
=
− − →
O O ∧ − → p /R (M) +
− →
L O/R
En simplifiant les notations on a donc la relation :
− →
L O /R =
− →
L O/R +
− − →
O
O ∧ − → p /R
On ne retiendra pas cette relation mais on la ré-établira au besoin et on se souviendra
du fait que le moment cinétique dépend du point où on le détermine.
1.3 Moment cinétique par rapport à un axe
Soit un axe D. On note O un point de cet axe et − → u D un vecteur unitaire directeur de
l’axe D.
On définit un moment cinétique L D par rapport à l’axe D passant par O à l’aide de la
relation :
L D =
− →
L O/R · − → u D
Il est important de noter qu’un moment par rapport à un point est un vecteur tandis
qu’un moment par rapport à un axe est un scalaire.
Cette notion n’aura un sens que si la quantité ainsi définie est indépendante du point
O de l’axe. On peut le montrer en utilisant un autre point O qui permet de définir
un autre moment par rapport à l’axe :
L
D =
− →
L O · − → u D
On a établi que :
− →
L O /R =
− →
L O/R +
− − →
O
O ∧ − → p /R
Alors :
L
D =
− →
L O/R +
− − →
O
O ∧ − → p /R
. − → u D =
− →
L O/R . − → u D +
− − →
O
O ∧ − → p /R
. − → u D = L D
car
− − →
O O et − → u D sont colinéaires,
− − →
OO ∧ − → p /R est perpendiculaire à
− − →
O O et le produit
scalaire de deux vecteurs perpendiculaire est nul. On parlera donc de moment cinétique
par rapport à l’axe D.
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