a) Montrer que
Z
A
=
k
M + j
vl
M
−v 2 + jv
l
M +
k
M
avec j tel que j
2 = −1 puis que l’on peut mettre
sous la forme
Z
A
=
1 + j
v
v 1
1 −
v
2
v 2
0
+ j
v
Qv 0
= H 1 × H 2
Exprimer alors v 0 , v 1 et Q en fonction de k, l et M.
b) Calculer numériquement v 0 , v 1 et Q.
c) Donner l’expression du module
Z
A
en fonction de v 0 , v 1 et Q.
8. Étude fréquentielle
On souhaite étudier l’amplitude des oscillations en fonction de la vitesse de la voiture. Pour
cela on étudie
Z
A
sous la forme |H 1 H 2 | en fonction de v.
a) Tracer le diagramme de Bode asymtotique relatif à
Z
A
. Tracer l’allure de
Z
A
.
Remarque : on pourra d’abord tracer les diagrammes de |H 1 | et |H 2 | en fonction de v.
b) v r , la valeur de v pour laquelle l’amplitude est maximale est de l’ordre de v 0 . Quelle est
la valeur de v correspondante ? Calculer l’amplitude des oscillations du véhicule pour v = v 0 .
9. Application
Dans le film "le salaire de la peur", Yves Montand conduit un camion (v 0 25 rad.s
−1 )
chargé de nitroglycérine. Il passe sur une "tôle ondulée" de période spatiale 1 m et pour
laquelle A = 10 cm. Afin d’éviter l’explosion du chargement, il doit traverser la tôle à une
vitesse inférieure à 5 km.h
−1 ou supérieure à 50 km.h
−1 . Justifier qualitativement ceci à l’aide
des résultats précédents.
4.
Production de vagues dans une piscine, d’après ENSTIM 2003
Pour créer des vagues dans une piscine, on fait effectuer des oscillations verticales à une masse
m immergée sur un côté du bassin.
Soit une masse M homogène de masse volumique r et de volume V plongée dans l’eau de
masse volumique r eau . Cette masse est suspendue à un ressort de raideur k et de longueur à
vide l 0 accroché à son autre extrémité en un point A. On note Oz l’axe vertical passant par
A orienté vers le bas et on prend A comme origine. A l’équilibre, la masse M est située en
z = h. On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
1. Établir la condition d’équilibre de la masse M dans l’air.
2. En déduire l’équation différentielle du mouvement en z de la masse M si le mouvement
s’effectue dans l’air.
3. Quelle est la nature du mouvement ? On donnera les expressions de ses principales caractéristiques.
629
Z
A
=
k
M + j
vl
M
−v 2 + jv
l
M +
k
M
avec j tel que j
2 = −1 puis que l’on peut mettre
sous la forme
Z
A
=
1 + j
v
v 1
1 −
v
2
v 2
0
+ j
v
Qv 0
= H 1 × H 2
Exprimer alors v 0 , v 1 et Q en fonction de k, l et M.
b) Calculer numériquement v 0 , v 1 et Q.
c) Donner l’expression du module
Z
A
en fonction de v 0 , v 1 et Q.
8. Étude fréquentielle
On souhaite étudier l’amplitude des oscillations en fonction de la vitesse de la voiture. Pour
cela on étudie
Z
A
sous la forme |H 1 H 2 | en fonction de v.
a) Tracer le diagramme de Bode asymtotique relatif à
Z
A
. Tracer l’allure de
Z
A
.
Remarque : on pourra d’abord tracer les diagrammes de |H 1 | et |H 2 | en fonction de v.
b) v r , la valeur de v pour laquelle l’amplitude est maximale est de l’ordre de v 0 . Quelle est
la valeur de v correspondante ? Calculer l’amplitude des oscillations du véhicule pour v = v 0 .
9. Application
Dans le film "le salaire de la peur", Yves Montand conduit un camion (v 0 25 rad.s
−1 )
chargé de nitroglycérine. Il passe sur une "tôle ondulée" de période spatiale 1 m et pour
laquelle A = 10 cm. Afin d’éviter l’explosion du chargement, il doit traverser la tôle à une
vitesse inférieure à 5 km.h
−1 ou supérieure à 50 km.h
−1 . Justifier qualitativement ceci à l’aide
des résultats précédents.
4.
Production de vagues dans une piscine, d’après ENSTIM 2003
Pour créer des vagues dans une piscine, on fait effectuer des oscillations verticales à une masse
m immergée sur un côté du bassin.
Soit une masse M homogène de masse volumique r et de volume V plongée dans l’eau de
masse volumique r eau . Cette masse est suspendue à un ressort de raideur k et de longueur à
vide l 0 accroché à son autre extrémité en un point A. On note Oz l’axe vertical passant par
A orienté vers le bas et on prend A comme origine. A l’équilibre, la masse M est située en
z = h. On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
1. Établir la condition d’équilibre de la masse M dans l’air.
2. En déduire l’équation différentielle du mouvement en z de la masse M si le mouvement
s’effectue dans l’air.
3. Quelle est la nature du mouvement ? On donnera les expressions de ses principales caractéristiques.
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