Chapitre 24 – Oscillations mécaniques forcées
La route est parfaitement horizontale (Fig 24.8)
1. La route ne présente aucune ondulation et le véhicule n’a aucun mouvement vertical.
Déterminer la position z G de G lorsque le véhicule est au repos.
2. Suite à une impulsion soudaine, le véhicule acquiert un mouvement d’oscillations verticales. On cherche dans cette question à établir l’équation différentielle caractéristique du
mouvement par une méthode énergétique.
On étudie le mouvement par rapport à la position d’équilibre établie précédemment. On
posera z = z G − z Geq .
a) Établir l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur.
b) Établir l’expression de l’énergie potentielle élastique.
Les énergies potentielles seront exprimées en fonction de z et à une constante additive près.
c) Appliquer le théorème de l’énergie cinétique sous forme différentielle (ou théorème de la
puissance cinétique) à la masse et en déduire l’équation différentielle du mouvement.
d) Établir l’équation différentielle du mouvement. Quel est le type de régime observé ?
e) Retrouver l’équation en appliquant directement la relation fondamentale de la dynamique.
f) Déterminer l’expression générale de la solution z(t) en fonction de k, M et l. On ne
demande pas de déterminer les constantes d’intégration. Dessiner qualitativement l’allure de
z(t) sachant que z(0) = 0 et
dz
dt
(0) > 0.
La route est ondulée (Fig 24.9)
Le véhicule se déplace à vitesse horizontale constante v sur un sol ondulé. L’ondulation est
assimilée à une sinusoïde de période spatiale L et d’amplitude A. La grandeur z O peut alors
s’écrire z O = R + A cos vt.
On étudie maintenant le mouvement par rapport à la position d’équilibre précédemment
établie.
On posera z = z G − z Geq .
Pour les applications numériques, on prendra L = 1 m ; A = 10 cm.
3. Quelle est l’unité de l ?
4. Exprimer v en fonction de v et L.
5. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la masse M dans le
référentiel terrestre supposé galiléen, établir l’équation différentielle en z régissant le
mouvement : m¨ z + l ˙
z + kz = k(z 0 − R) + l ˙
z 0 .
6. Justifier qualitativement le fait que l’on recherche la solution z(t) de cette équation différentielle sous une forme sinusoïdale z(t) = z max cos(vt + w).
7. Résolution par la méthode des complexes
On pose z O − R = A exp(jvt) et z = Z exp(jvt), réponse complexe du véhicule à l’excitation
sinusoïdale.
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La route est parfaitement horizontale (Fig 24.8)
1. La route ne présente aucune ondulation et le véhicule n’a aucun mouvement vertical.
Déterminer la position z G de G lorsque le véhicule est au repos.
2. Suite à une impulsion soudaine, le véhicule acquiert un mouvement d’oscillations verticales. On cherche dans cette question à établir l’équation différentielle caractéristique du
mouvement par une méthode énergétique.
On étudie le mouvement par rapport à la position d’équilibre établie précédemment. On
posera z = z G − z Geq .
a) Établir l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur.
b) Établir l’expression de l’énergie potentielle élastique.
Les énergies potentielles seront exprimées en fonction de z et à une constante additive près.
c) Appliquer le théorème de l’énergie cinétique sous forme différentielle (ou théorème de la
puissance cinétique) à la masse et en déduire l’équation différentielle du mouvement.
d) Établir l’équation différentielle du mouvement. Quel est le type de régime observé ?
e) Retrouver l’équation en appliquant directement la relation fondamentale de la dynamique.
f) Déterminer l’expression générale de la solution z(t) en fonction de k, M et l. On ne
demande pas de déterminer les constantes d’intégration. Dessiner qualitativement l’allure de
z(t) sachant que z(0) = 0 et
dz
dt
(0) > 0.
La route est ondulée (Fig 24.9)
Le véhicule se déplace à vitesse horizontale constante v sur un sol ondulé. L’ondulation est
assimilée à une sinusoïde de période spatiale L et d’amplitude A. La grandeur z O peut alors
s’écrire z O = R + A cos vt.
On étudie maintenant le mouvement par rapport à la position d’équilibre précédemment
établie.
On posera z = z G − z Geq .
Pour les applications numériques, on prendra L = 1 m ; A = 10 cm.
3. Quelle est l’unité de l ?
4. Exprimer v en fonction de v et L.
5. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la masse M dans le
référentiel terrestre supposé galiléen, établir l’équation différentielle en z régissant le
mouvement : m¨ z + l ˙
z + kz = k(z 0 − R) + l ˙
z 0 .
6. Justifier qualitativement le fait que l’on recherche la solution z(t) de cette équation différentielle sous une forme sinusoïdale z(t) = z max cos(vt + w).
7. Résolution par la méthode des complexes
On pose z O − R = A exp(jvt) et z = Z exp(jvt), réponse complexe du véhicule à l’excitation
sinusoïdale.
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