Déterminer les expressions de X(v) et F(v) en fonction de h, U 0 et du rapport x = v/v s .
c) Étudier les comportements limites de X(v) et F(v) aux très basses, puis aux très hautes
pulsations.
d) On pose Y =
U
2
0
X 2 . En exprimant Y en fonction de x
=
1
x
=
v s
v
, montrer qu’il ne peut
pas y avoir de résonance si h est supérieur à une valeur limite que l’on déterminera.
e) Tracer les courbes X(v) et F(v) pour les deux valeurs suivantes du paramètre h : h = 2
puis h = 0, 5, les valeurs de U 0 et de v s étant fixées.
Que deviennent ces courbes pour h nul ?
4. On définit la sensibilité s d’un pendule sismique par la valeur absolue du quotient du
déplacement Dj de la masse M par la variation de l’accélération sismique Da qui provoque ce
déplacement.
a) Exprimer s en fonction de la période propre du pendule dans le cas de mouvements dits
de longue période (donc de mouvement très lents).
b) Application numérique : calculer le déplacement de la masse M, provoqué sur un pendule
de période propre T 0 = 60 s par une variation d’accélération du bâti de Da = 10
−3 cm.
3.
Étude de la suspension d’un véhicule, d’après ENSTIM 2006
Le véhicule étudié est modélisé par un parallélépipède, de centre de gravité G et de masse M,
reposant sur une roue par l’intermédiare de la suspension dont l’axe OG reste toujours vertical.
L’ensemble est animé d’une vitesse horizontale v = v − → u x .
La suspension quant à elle, est modélisée par un ressort de constante de raideur
k = 1, 0.10
5 N.m
−1 ( de longueur à vide l 0 ) et un amortisseur fluide de constante
d’amortissement constante l = 4, 0.10
3 U.S.I. La masse de l’ensemble est M = 1000 kg.
On note g l’accélération de la pesanteur uniforme et verticale.
La position verticale du véhicule est repérée par z G dans le référentiel galiléen proposé ayant
son origine sur la ligne moyenne des déformations du sol. On note z O la cote du centre de la
roue par rapport au niveau moyen de la route.
M G
l
z G
z O = R
− → u x
− → u z
O
Figure 24.8
M G
l
z G
z O
− → u x
− → u z
k
O
L
niveau moyen
de la route
R
Figure 24.9
L’amortissement entre M et la roue introduit une force de frottement fluide, exercée par
l’amortisseur sur M, qui s’écrit :
F = −l
dz G
dt
−
dz O
dt
− → u z
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c) Étudier les comportements limites de X(v) et F(v) aux très basses, puis aux très hautes
pulsations.
d) On pose Y =
U
2
0
X 2 . En exprimant Y en fonction de x
=
1
x
=
v s
v
, montrer qu’il ne peut
pas y avoir de résonance si h est supérieur à une valeur limite que l’on déterminera.
e) Tracer les courbes X(v) et F(v) pour les deux valeurs suivantes du paramètre h : h = 2
puis h = 0, 5, les valeurs de U 0 et de v s étant fixées.
Que deviennent ces courbes pour h nul ?
4. On définit la sensibilité s d’un pendule sismique par la valeur absolue du quotient du
déplacement Dj de la masse M par la variation de l’accélération sismique Da qui provoque ce
déplacement.
a) Exprimer s en fonction de la période propre du pendule dans le cas de mouvements dits
de longue période (donc de mouvement très lents).
b) Application numérique : calculer le déplacement de la masse M, provoqué sur un pendule
de période propre T 0 = 60 s par une variation d’accélération du bâti de Da = 10
−3 cm.
3.
Étude de la suspension d’un véhicule, d’après ENSTIM 2006
Le véhicule étudié est modélisé par un parallélépipède, de centre de gravité G et de masse M,
reposant sur une roue par l’intermédiare de la suspension dont l’axe OG reste toujours vertical.
L’ensemble est animé d’une vitesse horizontale v = v − → u x .
La suspension quant à elle, est modélisée par un ressort de constante de raideur
k = 1, 0.10
5 N.m
−1 ( de longueur à vide l 0 ) et un amortisseur fluide de constante
d’amortissement constante l = 4, 0.10
3 U.S.I. La masse de l’ensemble est M = 1000 kg.
On note g l’accélération de la pesanteur uniforme et verticale.
La position verticale du véhicule est repérée par z G dans le référentiel galiléen proposé ayant
son origine sur la ligne moyenne des déformations du sol. On note z O la cote du centre de la
roue par rapport au niveau moyen de la route.
M G
l
z G
z O = R
− → u x
− → u z
O
Figure 24.8
M G
l
z G
z O
− → u x
− → u z
k
O
L
niveau moyen
de la route
R
Figure 24.9
L’amortissement entre M et la roue introduit une force de frottement fluide, exercée par
l’amortisseur sur M, qui s’écrit :
F = −l
dz G
dt
−
dz O
dt
− → u z
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