1. Déterminer l’équation différentielle du mouvement de l’électron.
2. On s’intéresse au régime sinusoïdal forcé. Définir les grandeurs complexes appropriées à la
résolution de l’équation différentielle. En déduire la solution forcée pour
− − →
OM.
3. On s’intéresse à une molécule de l’atmosphère éclairée par la lumière du soleil :
m = 9, 1.10
−31 kg, e = 1, 6.10
−19 C, k = 100 N.m
−1 , h = 10
−20 kg.s
−1 . Calculer
numériquement w 0 (pulsation propre) et Q (facteur de qualité).
4. La relation entre la longueur d’onde l de l’onde lumineuse et v est v =
2pc
l
: avec
c = 3.10
8 m.s
−1 .
Calculer les pulsations limites du visible et donner une expression approchée de
− − →
OM.
5. Sachant que la puissance réémise par l’électron est proportionnelle au carré de son accélération, calculer le rapport émis pour le rouge (l = 800 nm) et pour le bleu (l = 450 nm). En
déduire pourquoi le ciel apparaît bleu.
B. Exercices et problèmes
1.
Résonance d’un système de deux point couplés par des ressorts
Deux points matériels A et B de même masse m sont reliés entre eux par un ressort de raideur
K, et à deux points fixes par deux ressorts de raideur k. L’ensemble coulisse sans frottement
sur une tige horizontale fixe. On note − → u un vecteur unitaire de cet axe.
A
B
x
y
L
(1)
(2)
(3)
Figure 24.6
On note x et y les élongations de A et B comptées à partir de leur position d’équilibre.
1. Écrire les relations à l’équilibre reliant les longueurs à vide des ressorts ( 0 pour (1) et (3),
L 0 pour (2)) et les longueurs à l’équilibre ( eq pour (1) et (3), L eq pour (2))).
2. Le point A subit une force supplémentaire
− →
f = mF 0 cos(vt) − → u Déterminer les équations
du mouvement. Déduire des résultats précédents deux équations différentielles.
3. a) On cherche pour x et y, des solutions au régime sinusoïdal forcé de la forme
x = X 0 cos(vt + w) et y = Y 0 cos(vt + c). On définit les grandeurs complexes associées
X = X 0 e
i(vt+w) et Y = Y 0 e
i(vt+c) avec x = Re(X) et y = Re(Y ). Montrer que les solutions
des équations différentielles précédentes sont :
X =
v
2
2 − v
2
(v 2
0 − v 2 )(v 2
1 − v 2 )
F 0 e
ivt et Y =
v
2
3
(v 2
0 − v 2 )(v 2
1 − v 2 )
F 0 e
ivt
où v 0 , v 1 , v 2 et v 3 sont des grandeurs à exprimer en fonction de k, K et m.
625
2. On s’intéresse au régime sinusoïdal forcé. Définir les grandeurs complexes appropriées à la
résolution de l’équation différentielle. En déduire la solution forcée pour
− − →
OM.
3. On s’intéresse à une molécule de l’atmosphère éclairée par la lumière du soleil :
m = 9, 1.10
−31 kg, e = 1, 6.10
−19 C, k = 100 N.m
−1 , h = 10
−20 kg.s
−1 . Calculer
numériquement w 0 (pulsation propre) et Q (facteur de qualité).
4. La relation entre la longueur d’onde l de l’onde lumineuse et v est v =
2pc
l
: avec
c = 3.10
8 m.s
−1 .
Calculer les pulsations limites du visible et donner une expression approchée de
− − →
OM.
5. Sachant que la puissance réémise par l’électron est proportionnelle au carré de son accélération, calculer le rapport émis pour le rouge (l = 800 nm) et pour le bleu (l = 450 nm). En
déduire pourquoi le ciel apparaît bleu.
B. Exercices et problèmes
1.
Résonance d’un système de deux point couplés par des ressorts
Deux points matériels A et B de même masse m sont reliés entre eux par un ressort de raideur
K, et à deux points fixes par deux ressorts de raideur k. L’ensemble coulisse sans frottement
sur une tige horizontale fixe. On note − → u un vecteur unitaire de cet axe.
A
B
x
y
L
(1)
(2)
(3)
Figure 24.6
On note x et y les élongations de A et B comptées à partir de leur position d’équilibre.
1. Écrire les relations à l’équilibre reliant les longueurs à vide des ressorts ( 0 pour (1) et (3),
L 0 pour (2)) et les longueurs à l’équilibre ( eq pour (1) et (3), L eq pour (2))).
2. Le point A subit une force supplémentaire
− →
f = mF 0 cos(vt) − → u Déterminer les équations
du mouvement. Déduire des résultats précédents deux équations différentielles.
3. a) On cherche pour x et y, des solutions au régime sinusoïdal forcé de la forme
x = X 0 cos(vt + w) et y = Y 0 cos(vt + c). On définit les grandeurs complexes associées
X = X 0 e
i(vt+w) et Y = Y 0 e
i(vt+c) avec x = Re(X) et y = Re(Y ). Montrer que les solutions
des équations différentielles précédentes sont :
X =
v
2
2 − v
2
(v 2
0 − v 2 )(v 2
1 − v 2 )
F 0 e
ivt et Y =
v
2
3
(v 2
0 − v 2 )(v 2
1 − v 2 )
F 0 e
ivt
où v 0 , v 1 , v 2 et v 3 sont des grandeurs à exprimer en fonction de k, K et m.
625