A. Applications directes du cours
1.
Étude de l’élongation d’un oscillateur
L’oscillateur est un point M de masse m astreint à se déplacer le long d’un axe horizontal Ox.
Le point M est attaché à une des extrémités d’un ressort (k, 0 ), l’autre extrémité est reliée
au point O. Un système d’amortissement exerce une force
− →
F v = −h ˙
x − → u x . Le système est aussi
soumis à une force excitatrice
− →
F = mF 0 cos(vt) − → u x , où F 0 est une constante positive.
1. Établir l’équation différentielle de la position x de M.
On effectue le changement de variable X = x − x e où x e est la position d’équilibre de M.
Montrer que l’équation différentielle peut alors se mettre sous la forme :
¨
X +
2
t
˙
X + v
2
0 X = F 0 cos(vt)
2. a) On cherche des solutions au régime forcé sous la forme X = X 0 cos(vt + w). En
utilisant la notation complexe déterminer X 0 (v) et w(v).
b) Représenter X 0 et w en fonction de v.
2.
Vitesse en régime sinusoïdal forcé
On fait l’étude expérimentale d’un oscillateur grâce a un dispositif qui est sensible à la vitesse.
C’est donc à la vitesse et non à l’élongation que l’on s’intéresse dans cet exercice.
L’oscillateur est un point M de masse m suspendu à un ressort (k, 0 ) dont la position est repérée
par un axe Oz descendant. Un système d’amortissement exerce une force
− →
F v = −h ˙
z − → u z . Le
système est aussi soumis à une force excitatrice
− →
F = mF 0 cos(vt) − → u z , où F 0 est une constante
positive. On pose v
2
0 = k/m et Q = mv 0 /h.
1. Établir l’équation différentielle à laquelle obéit la vitesse v = ˙
z en fonction de v 0 , Q, F 0 et
v.
2. a) On cherche des solutions de la forme v = V 0 cos(vt + w) pour le régime sinusoïdal
forcé. On utilise alors des grandeurs complexes V = V 0 exp
i(vt + w)
. Déterminer l’expression de V en fonction des données puis celles de V 0 (v) et w(v).
b) Calculer la pulsation de résonance pour laquelle V 0 est maximale. Représenter V 0 (v) ainsi
que w(v).
3. a) Exprimer la puissance cinétique P c et la puissance de la force de tension du ressort P r
et montrer qu’elles sont nulles en moyenne.
b) Montrer qu’en moyenne la puissance de la force excitatrice P e est égale à la puissance de
la force de frottement P f . Montrer que cette puissance moyenne est maximale à la résonance
de vitesse.
3.
Pourquoi le ciel est-il bleu ? (Modèle de Thomson)
On considère un électron M d’une molécule dont le noyau est immobile en O. Cet électron
est soumis à une force de rappel le liant à la molécule
− →
F = −k
− − →
OM ainsi qu’à une force de
freinage
− →
f v = −l − → v où − → v est la vitesse de M. Une onde lumineuse caractérisée par un champ
électrique
− →
E =
− →
E 0 cos(vt) − → u x exerce la force
− →
f e = −e
− →
E sur l’électron. On néglige le poids.
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1.
Étude de l’élongation d’un oscillateur
L’oscillateur est un point M de masse m astreint à se déplacer le long d’un axe horizontal Ox.
Le point M est attaché à une des extrémités d’un ressort (k, 0 ), l’autre extrémité est reliée
au point O. Un système d’amortissement exerce une force
− →
F v = −h ˙
x − → u x . Le système est aussi
soumis à une force excitatrice
− →
F = mF 0 cos(vt) − → u x , où F 0 est une constante positive.
1. Établir l’équation différentielle de la position x de M.
On effectue le changement de variable X = x − x e où x e est la position d’équilibre de M.
Montrer que l’équation différentielle peut alors se mettre sous la forme :
¨
X +
2
t
˙
X + v
2
0 X = F 0 cos(vt)
2. a) On cherche des solutions au régime forcé sous la forme X = X 0 cos(vt + w). En
utilisant la notation complexe déterminer X 0 (v) et w(v).
b) Représenter X 0 et w en fonction de v.
2.
Vitesse en régime sinusoïdal forcé
On fait l’étude expérimentale d’un oscillateur grâce a un dispositif qui est sensible à la vitesse.
C’est donc à la vitesse et non à l’élongation que l’on s’intéresse dans cet exercice.
L’oscillateur est un point M de masse m suspendu à un ressort (k, 0 ) dont la position est repérée
par un axe Oz descendant. Un système d’amortissement exerce une force
− →
F v = −h ˙
z − → u z . Le
système est aussi soumis à une force excitatrice
− →
F = mF 0 cos(vt) − → u z , où F 0 est une constante
positive. On pose v
2
0 = k/m et Q = mv 0 /h.
1. Établir l’équation différentielle à laquelle obéit la vitesse v = ˙
z en fonction de v 0 , Q, F 0 et
v.
2. a) On cherche des solutions de la forme v = V 0 cos(vt + w) pour le régime sinusoïdal
forcé. On utilise alors des grandeurs complexes V = V 0 exp
i(vt + w)
. Déterminer l’expression de V en fonction des données puis celles de V 0 (v) et w(v).
b) Calculer la pulsation de résonance pour laquelle V 0 est maximale. Représenter V 0 (v) ainsi
que w(v).
3. a) Exprimer la puissance cinétique P c et la puissance de la force de tension du ressort P r
et montrer qu’elles sont nulles en moyenne.
b) Montrer qu’en moyenne la puissance de la force excitatrice P e est égale à la puissance de
la force de frottement P f . Montrer que cette puissance moyenne est maximale à la résonance
de vitesse.
3.
Pourquoi le ciel est-il bleu ? (Modèle de Thomson)
On considère un électron M d’une molécule dont le noyau est immobile en O. Cet électron
est soumis à une force de rappel le liant à la molécule
− →
F = −k
− − →
OM ainsi qu’à une force de
freinage
− →
f v = −l − → v où − → v est la vitesse de M. Une onde lumineuse caractérisée par un champ
électrique
− →
E =
− →
E 0 cos(vt) − → u x exerce la force
− →
f e = −e
− →
E sur l’électron. On néglige le poids.
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