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Aspects énergétiques - Résonance en puissance
a) Phénomène de résonance
Comme ˙
x(t) = v(t) = V cos (vt + c), on en déduit :
˙
x
2
= V
2
cos
2 (vt + c)
=
V
2
T
t0+T
t0
cos
2 (vt + c) dt
=
V
2
T
t0+T
t0
1 + cos (2vt + 2c)
2
dt
=
V
2
2
Par conséquent, en tenant compte de l’expression de V obtenue au paragraphe 4.1,
on a :
P(t) = l
V
2
2
=
jF
2 v
2
m
v 2
0 − v 2
2 + 4j 2 v 2
=
v 0 QF
2 v
2
2m
Q 2
v 2
0 − v 2
2 + v 2
0 v 2
ou en divisant par v
2 :
P =
jF
2
m
v 2
0
v − v
2
+ 4j 2
=
v 0 QF
2
2m
Q 2
v 2
0
v − v
2
+ v 2
0
P
P max
Pmax
2
v
v 0
Dv
Figure 24.4 Résonance en
puissance.
Les variations de P en fonction de la
pulsation v sont inverses de celles de
f (v) =
v
2
0
v − v
2
+ 4j
2 . Or pour toute
pulsation v, f (v) 4j
2 et f (v 0 ) = 4j
2 .
Donc f passe par un minimum pour
v = v 0 et P admet un maximum pour
v = v 0 . La valeur du maximum est
P max =
F
2
4jm
=
QF
2
2mv 2
0
.
On a donc résonance en puissance à la pulsation propre v 0 .
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