Chapitre 24 – Oscillations mécaniques forcées
6. Aspects énergétiques - Résonance en puissance
6.1 Expression de la puissance moyenne absorbée par l’oscillateur
La puissance instantanée absorbée par l’oscillateur est définie par :
P(t) =
− →
f (t) ·
− →
v(t) = f (t) ˙
x(t)
On obtient son expression en multipliant l’équation différentielle du mouvement
m¨ x + l ˙
x + kx = f (t) par ˙
x :
P(t) = m¨ x ˙
x + l ˙
x
2 + kx ˙
x =
d
dt
1
2
m ˙
x
2 +
1
2
kx
2
+ l ˙
x
2
Le calcul de la valeur moyenne de P(t) sur une période T donne :
P = P(t) =
1
T
t0+T
t0
d
dt
1
2
m ˙
x
2 +
1
2
kx
2
dt +
1
T
t0+T
t0
l ˙
x
2 dt
=
1
T
1
2
m ˙
x
2 +
1
2
kx
2
t0+T
t0
+ l ˙
x
2
Comme x et ses dérivées sont de période T,
1
2 m ˙
x
2 +
1
2 kx
2
t0+T
t0
= 0 et
P(t) = l ˙
x
2
6.2 Bilan énergétique
On peut établir ce résultat en appliquant directement le théorème de l’énergie cinétique :
d (Ec + Ep) = dW
= −l ˙
x
2 dt + f (t) ˙
xdt
En moyenne sur une période, la variation d’énergie mécanique est nulle (pour le
régime permanent qui est ici sinusoïdal forcé) donc :
−l ˙
x
2
+ f (t) ˙
x = 0
En moyenne, l’énergie apportée par la force
− →
f compense exactement l’énergie perdue par frottement.
6.3 Résonance en puissance
La recherche de la résonance en puissance consiste à déterminer les conditions permettant d’avoir une puissance moyenne absorbée par l’oscillateur maximale.
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6. Aspects énergétiques - Résonance en puissance
6.1 Expression de la puissance moyenne absorbée par l’oscillateur
La puissance instantanée absorbée par l’oscillateur est définie par :
P(t) =
− →
f (t) ·
− →
v(t) = f (t) ˙
x(t)
On obtient son expression en multipliant l’équation différentielle du mouvement
m¨ x + l ˙
x + kx = f (t) par ˙
x :
P(t) = m¨ x ˙
x + l ˙
x
2 + kx ˙
x =
d
dt
1
2
m ˙
x
2 +
1
2
kx
2
+ l ˙
x
2
Le calcul de la valeur moyenne de P(t) sur une période T donne :
P = P(t) =
1
T
t0+T
t0
d
dt
1
2
m ˙
x
2 +
1
2
kx
2
dt +
1
T
t0+T
t0
l ˙
x
2 dt
=
1
T
1
2
m ˙
x
2 +
1
2
kx
2
t0+T
t0
+ l ˙
x
2
Comme x et ses dérivées sont de période T,
1
2 m ˙
x
2 +
1
2 kx
2
t0+T
t0
= 0 et
P(t) = l ˙
x
2
6.2 Bilan énergétique
On peut établir ce résultat en appliquant directement le théorème de l’énergie cinétique :
d (Ec + Ep) = dW
= −l ˙
x
2 dt + f (t) ˙
xdt
En moyenne sur une période, la variation d’énergie mécanique est nulle (pour le
régime permanent qui est ici sinusoïdal forcé) donc :
−l ˙
x
2
+ f (t) ˙
x = 0
En moyenne, l’énergie apportée par la force
− →
f compense exactement l’énergie perdue par frottement.
6.3 Résonance en puissance
La recherche de la résonance en puissance consiste à déterminer les conditions permettant d’avoir une puissance moyenne absorbée par l’oscillateur maximale.
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