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Étude de la solution
On passe en notation complexe pour déterminer l’amplitude X et la phase w. La
représentation complexe de x P (t) s’écrit :
x = X exp(j (vt + w)) = X exp(jvt) où X = X exp(jw)
alors x P (t) est la partie réelle de x. De même, l’excitation vérifie :
F cos vt = Re (F exp(jvt))
L’intérêt de la notation complexe est le même qu’en électricité : les dérivées temporelles se traduisent en notation complexe par une multiplication par jv. Cela permet
de transformer l’équation différentielle en équation algébrique :
m¨ x + l ˙
x + kx =
−mv
2 + jvl + k
X exp(jvt) = F exp(jvt)
Soit en simplifiant par exp(jvt) qui ne peut s’annuler :
−mv
2 + jvl + k
X = F
L’amplitude complexe est donc :
X = X exp(jw) =
F
k − mv 2 + jvl
=
F
m
1
v 2
0 − v 2 + 2jjv
ce qui permet d’en déduire les expressions de l’amplitude et de la phase en fonction
de la pulsation :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
X =
F
m
v 2
0 − v 2
2 + 4j 2 v 2
tan w = −
2jv
v 2
0 − v 2
et
sin w < 0
Si on utilise d’autres paramètres que j et v 0 , on obtient :
1. en fonction de t =
m
l
=
1
2j
et de v
2
0 :
X =
F
m
1
v 2
0 − v 2 + j
v
t
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