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Étude de la solution
vertical (Cf. exemple du pendule élastique vertical dans le paragraphe consacré
à l’oscillateur harmonique en première période),
◦ force extérieure, souvent dite excitatrice,
− →
f (t) = f (t) − → u x .
• Principe fondamental de la dynamique projeté sur − → u x :
m¨ x = −kx − l ˙
x + f (t)
L’équation différentielle du mouvement est donc
¨ x +
l
m
˙
x +
k
m
x = ¨ x + 2j ˙
x + v
2
0 x =
f (t)
m
en posant v 0 =
k
m
et j =
l
2m
.
On étudie donc la même équation différentielle que dans le cas des oscillations amorties avec un second membre correspondant à la force excitatrice qui dépend du temps.
1.3 Cas d’une excitation sinusoïdale
Dans la suite, on se limitera aux excitations sinusoïdales
f (t) = F cos vt
Outre le fait que ce type d’excitation est important pour lui-même (vibrations d’une
machine tournante, mouvement d’un électron dans un champ magnétique...), cette
étude revêt un intérêt théorique capital. En effet, comme on l’a déjà vu en électricité, la fonction f (t) peut s’écrire comme une superposition de fonctions sinusoïdales
(discrète ou continue selon que f (t) est périodique ou non). Le fait que l’équation
différentielle soit linéaire, autrement dit que le principe de superposition puisse s’appliquer, permet d’écrire la solution pour f (t) comme la somme des solutions obtenues pour chaque terme de la décomposition. Il est alors nécessaire de déterminer la
réponse à chaque terme de la décomposition, à savoir à une excitation sinusoïdale.
Ceci donne une importance considérable à l’étude de l’excitation sinusoïdale.
2. Étude de la solution
2.1 Régimes libre, transitoire et permanent
La solution d’une équation différentielle du type :
m¨ x + l ˙
x + kx = F cos vt
s’écrit sous la forme :
x(t) = x H (t) + x P (t)
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Étude de la solution
vertical (Cf. exemple du pendule élastique vertical dans le paragraphe consacré
à l’oscillateur harmonique en première période),
◦ force extérieure, souvent dite excitatrice,
− →
f (t) = f (t) − → u x .
• Principe fondamental de la dynamique projeté sur − → u x :
m¨ x = −kx − l ˙
x + f (t)
L’équation différentielle du mouvement est donc
¨ x +
l
m
˙
x +
k
m
x = ¨ x + 2j ˙
x + v
2
0 x =
f (t)
m
en posant v 0 =
k
m
et j =
l
2m
.
On étudie donc la même équation différentielle que dans le cas des oscillations amorties avec un second membre correspondant à la force excitatrice qui dépend du temps.
1.3 Cas d’une excitation sinusoïdale
Dans la suite, on se limitera aux excitations sinusoïdales
f (t) = F cos vt
Outre le fait que ce type d’excitation est important pour lui-même (vibrations d’une
machine tournante, mouvement d’un électron dans un champ magnétique...), cette
étude revêt un intérêt théorique capital. En effet, comme on l’a déjà vu en électricité, la fonction f (t) peut s’écrire comme une superposition de fonctions sinusoïdales
(discrète ou continue selon que f (t) est périodique ou non). Le fait que l’équation
différentielle soit linéaire, autrement dit que le principe de superposition puisse s’appliquer, permet d’écrire la solution pour f (t) comme la somme des solutions obtenues pour chaque terme de la décomposition. Il est alors nécessaire de déterminer la
réponse à chaque terme de la décomposition, à savoir à une excitation sinusoïdale.
Ceci donne une importance considérable à l’étude de l’excitation sinusoïdale.
2. Étude de la solution
2.1 Régimes libre, transitoire et permanent
La solution d’une équation différentielle du type :
m¨ x + l ˙
x + kx = F cos vt
s’écrit sous la forme :
x(t) = x H (t) + x P (t)
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