Chapitre 23 – Compléments de cinématique du point matériel
x
y
z
− → u x
− → u y
− → u z
− → v
M
O
u
Figure 23.11 Vecteur rotation.
On notera que v est une grandeur algébrique : tous les sens de rotation possibles
sont donc décrits par cette définition.
Il est alors possible d’exprimer le vecteur
vitesse en fonction du vecteur position et
du vecteur rotation. On se place dans le cas
d’un sens direct de parcours.
− − →
OM = r − → u r
et − → v = v − → u z
− → v ∧
− − →
OM = rv − → u z ∧ − → u r = rv − → u u
Donc
− → v = − → v ∧
− − →
OM
4.3 Expression de l’accélération
En première période, on avait obtenu l’expression de l’accélération en dérivant l’expression de la vitesse en coordonnées cylindriques par rapport au temps :
− → a =
d − → v
dt
= r ¨
u − → u u − r ˙
u
2− → u r
Une autre méthode consiste à dériver l’expression de la vitesse qui vient d’être obtenue en fonction du vecteur rotation :
− → a =
d
dt
− → v ∧
− − →
OM
=
d − → v
dt
∧
− − →
OM + − → v ∧
d
− − →
OM
dt
=
d − → v
dt
∧
− − →
OM + − → v ∧ − → v
soit, en tenant compte du fait que − → v = rv − → u u pour un mouvement circulaire et en
utilisant les coordonnées cylindriques :
− → a = r
dv
dt
− → u z ∧ − → u r + rv
2− → u z ∧ − → u u = −rv
2− → u r + r
dv
dt
− → u u
On peut noter que dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, on a :
dv
dt
= 0
soit v = ˙
u constant. Par conséquent, l’accélération est uniquement radiale.
608