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Compléments sur le mouvement circulaire
On peut retrouver ces résultats géométriquement : il suffit de sommer les déplacements élémentaires correspondant aux variations de chacune des variables pendant
un intervalle de temps dt. On se reportera aux résultats obtenus pour les expressions
des déplacements élémentaires en coordonnées sphériques au paragraphe 1.3.d) de ce
chapitre.
L’expression de l’accélération en coordonnées sphériques n’est que très rarement
employée. On peut l’obtenir en dérivant l’expression obtenue pour la vitesse ; son
expression
1 est :
− → a =
d − → v
dt
=
¨ r − r ˙
u
2
− r sin
2 u ˙
w
2
− → u r +
2˙ r ˙
u + r ¨
u − r sin u cos u ˙
w
2
− → u u
+
2˙ r sin u ˙
w + r sin u¨ w + 2r cos u ˙
u ˙
w
− → u w
4. Compléments sur le mouvement circulaire
4.1 Rappels
On revient sur le mouvement circulaire pour donner les expressions de la vitesse et de
l’accélération en introduisant un vecteur rotation et en utilisant la notion de produit
vectoriel.
Du fait de la symétrie du problème, les coordonnées les plus adaptées sont les coordonnées cylindriques d’axe (Oz) qui généralisent les coordonnées polaires utilisées
en première période. On rappelle que, dans cette base de projection, les équations
horaires du mouvement sont :
r = R = constante
u(t) = (Ox,
− − →
OM)
et que le vecteur vitesse s’écrit :
− → v = r ˙
u − → u u
4.2 Vecteur rotation
Il est souvent commode d’introduire un vecteur rotation − → v dont le module est la vitesse
angulaire et dont la direction est celle de l’axe (Oz). Le sens du vecteur rotation est
celui de − → u z avec l’orientation choisie pour u :
− → v = v − → u z = ˙
u − → u z
1 On laisse le soin au lecteur de faire le calcul à titre d’entraînement.
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Compléments sur le mouvement circulaire
On peut retrouver ces résultats géométriquement : il suffit de sommer les déplacements élémentaires correspondant aux variations de chacune des variables pendant
un intervalle de temps dt. On se reportera aux résultats obtenus pour les expressions
des déplacements élémentaires en coordonnées sphériques au paragraphe 1.3.d) de ce
chapitre.
L’expression de l’accélération en coordonnées sphériques n’est que très rarement
employée. On peut l’obtenir en dérivant l’expression obtenue pour la vitesse ; son
expression
1 est :
− → a =
d − → v
dt
=
¨ r − r ˙
u
2
− r sin
2 u ˙
w
2
− → u r +
2˙ r ˙
u + r ¨
u − r sin u cos u ˙
w
2
− → u u
+
2˙ r sin u ˙
w + r sin u¨ w + 2r cos u ˙
u ˙
w
− → u w
4. Compléments sur le mouvement circulaire
4.1 Rappels
On revient sur le mouvement circulaire pour donner les expressions de la vitesse et de
l’accélération en introduisant un vecteur rotation et en utilisant la notion de produit
vectoriel.
Du fait de la symétrie du problème, les coordonnées les plus adaptées sont les coordonnées cylindriques d’axe (Oz) qui généralisent les coordonnées polaires utilisées
en première période. On rappelle que, dans cette base de projection, les équations
horaires du mouvement sont :
r = R = constante
u(t) = (Ox,
− − →
OM)
et que le vecteur vitesse s’écrit :
− → v = r ˙
u − → u u
4.2 Vecteur rotation
Il est souvent commode d’introduire un vecteur rotation − → v dont le module est la vitesse
angulaire et dont la direction est celle de l’axe (Oz). Le sens du vecteur rotation est
celui de − → u z avec l’orientation choisie pour u :
− → v = v − → u z = ˙
u − → u z
1 On laisse le soin au lecteur de faire le calcul à titre d’entraînement.
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