Chapitre 23 – Compléments de cinématique du point matériel
On en déduit l’expression du vecteur-vitesse :
− → v =
d
− − →
OM
dt
= ˙
r − → u r + r
d − → u r
dt
+ ˙
z − → u z
= ˙
r − → u r + r
d − → u r
du
du
dt
+ ˙
z − → u z
= ˙
r − → u r + r ˙
u − → u u + ˙
z − → u z
en utilisant les résultats sur les dérivées par rapport à un angle d’un vecteur unitaire.
On peut retrouver ces résultats géométriquement : il suffit de sommer les déplacements élémentaires correspondant aux variations de chacune des variables pendant un
intervalle de temps dt. On se reportera aux résultats obtenus pour les expressions des
déplacements élémentaires en coordonnées cylindriques au paragraphe 1.2.d) de ce
chapitre.
Pour l’accélération, on dérive l’expression de la vitesse :
− → a =
d − → v
dt
= ¨ r − → u r + ˙
r
d − → u r
dt
+ ˙
r ˙
u − → u u + r
d ˙
u
dt
− → u u + r ˙
u
d − → u u
dt
+ ¨
z − → u z
= ¨ r − → u r + ˙
r
d − → u r
du
du
dt
+ ˙
r ˙
u − → u u + r ¨
u − → u u + r ˙
u
d − → u u
du
du
dt
+ ¨
z − → u z
= ¨ r − → u r + ˙
r − → u u ˙
u + ˙
r ˙
u − → u u + r ¨
u − → u u + r ˙
u
− − → u r
˙
u + ¨
z − → u z
=
¨ r − r ˙
u
2
− → u r +
2˙ r ˙
u + r ¨
u
− → u u + ¨
z − → u z
3.3 Coordonnées sphériques
Le vecteur-position s’écrit :
− − →
OM = r(t) − → u r (t)
On en déduit l’expression du vecteur-vitesse :
− → v =
d
− − →
OM
dt
= ˙
r − → u r + r
d − → u r
dt
= ˙
r − → u r + r
∂ − → u r
∂u
∂u
∂t
+ r
d − → u r
dw
dw
dt
= ˙
r − → u r + r ˙
u − → u u + r sin u ˙
w − → u w
en utilisant les résultats sur les dérivées par rapport à un angle d’un vecteur unitaire.
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