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Expressions de la vitesse et de l’accélération
2.3 Cas général d’un vecteur unitaire
De ce qui précède, on remarque qu’on obtient le résultat suivant :
La dérivée d’un vecteur unitaire tournant par rapport à l’angle de rotation est un
vecteur unitaire qui lui est directement orthogonal, dans le plan de rotation.
+
− → u
d − → u
a
Figure 23.10 Dérivée d’un
vecteur tournant par rapport
à l’angle de rotation.
On peut établir qu’il s’agit d’un résultat tout à
fait général. Soit − → u un vecteur unitaire. On a
− → u
2 = 1, ce qui implique en dérivant par rapport
à l’angle de rotation a : − → u ·
d − → u
da
= 0. Les vecteurs
− → u et
d − → u
da
sont donc orthogonaux.
Le fait que − → u et
d − → u
da
forment une base directe est
lié à l’orientation de a dans le sens direct choisi.
3. Expressions de la vitesse et de l’accélération
3.1 Coordonnées cartésiennes
On part du vecteur-position :
− − →
OM = x(t) − → u x + y(t) − → u y + z(t) − → u z
et on dérive par rapport au temps sachant que les vecteurs − → u x , − → u y et − → u z sont constants
au cours du temps.
Donc le vecteur-vitesse s’écrit :
− → v =
d
− − →
OM
dt
= ˙
x − → u x + ˙
y − → u y + ˙
z − → u z
en notant ˙
x =
dx
dt
, ˙
y =
dy
dt
et ˙
z =
dz
dt
.
De même pour l’accélération :
− → a =
d − → v
dt
= ¨ x − → u x + ¨ y − → u y + ¨
z − → u z
en notant ¨ x =
d
2 x
dt 2 , ¨ y =
d
2 y
dt 2 et ¨
z =
d
2 z
dt 2 .
3.2 Coordonnées cylindriques
Le vecteur-position s’écrit :
− − →
OM = r(t) − → u r (t) + z(t) − → u z
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