Chapitre 23 – Compléments de cinématique du point matériel
2. Dérivée d’un vecteur unitaire tournant par rapport
à l’angle de rotation
Pour les bases locales en coordonnées cylindriques ou sphériques, les vecteurs − → u r , − → u u
et − → u w changent lorsque le point M se déplace. On s’intéresse ici aux modifications de
ces vecteurs lors d’un déplacement du point M. On généralise ainsi ce qui a été fait
pour les coordonnées polaires.
2.1 Cas des coordonnées cylindriques
Quand M(r, u, z) devient M (r + dr, u + du, z + dz), les vecteurs − → u r et − → u u deviennent
respectivement − → u r + d − → u r et − → u u + d − → u u .
Or les expressions de − → u r et − → u u établies dans la base fixe ( − → u x , − → u y , −
→ u z ) ne dépendent que
de u :
− → u r = cos u − → u x + sin u − → u y
− → u u = − sin u − → u x + cos u − → u y
Les variations induites par le déplacement de M ne sont donc fonction que de u. En
effet, quand r varie de dr à u constant, la direction du vecteur
− −− →
OM P ne change pas, la
base locale non plus.
En dérivant par rapport à u les expressions précédentes, on déduit :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
d − → u r
du
= − → u u
d − → u u
du
= − − → u r
puis
⎧
⎨
⎩
d − → u r = du − → u u
d − → u u = −du − → u r
2.2 Cas des coordonnées sphériques
Quand M(r, u, w) devient M (r+dr, u+du, w+dw), les vecteurs − → u r , − → u u et − → u w deviennent
respectivement − → u r + d − → u r , − → u u + d − → u u et − → u w + d − → u w . Or les expressions de − → u r , − → u u et − → u w
établies dans la base fixe ( − → u x , −
→ u y , − → u z ) ne dépendent que de u et de w : les variations
induites par le déplacement de M ne sont donc fonction que de ces deux variables.
Des expressions de − → u r , − → u u et − → u w , on déduit :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ − → u r
∂u
r,w
= − → u u
∂ − → u u
∂u
r,w
= − − → u r
∂ − → u
∂w
r,u
= − → u w
∂ − → u w
∂w
r,u
= − − → u = − cos w − → u x − sin w − → u y = − sin u − → u r − cos u − → u u
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