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Systèmes de coordonnées dans l’espace
1. Approche géométrique :
Les variables r, u, w sont indépendantes : l’expression du déplacement élémentaire est
donc la somme des déplacements élémentaires correspondant à la variation d’une seule
variable.
• une variation dr de r correspond à un mouvement le long de la droite (OM) donc
de dr − → u r ,
• une variation du de u correspond à un déplacement circulaire de centre O, de
rayon r et d’angle du de longueur rdu suivant − → u u . Ceci se passe dans le plan défini
par les droites (OM) et (Oz),
• une variation dw de w correspond à un mouvement circulaire perpendiculairement
à l’axe (Oz) autour de cet axe. Le rayon du cercle est r sin u et l’angle de rotation
dw. La longueur du déplacement est donc r sin udw suivant − → u w .
x
y
z
O
M
M P
u M
w M
r M
− → u r − → u w
− → u u
dr
rdu
r sin udw
Figure 23.9 Déplacements élémentaires
en coordonnées sphériques.
Au final, le déplacement élémentaire
s’écrit :
d
− − →
OM = dr − → u r + rdu − → u u + r sin udw − → u w
2. Différenciation du vecteur
− − →
OM = r − → u r : il s’agit d’une méthode
délicate qu’on évitera autant que possible.
d
− − →
OM = d
r − → u r
= dr − → u r + rd − → u r
= dr − → u r + rdu − → u u + r sin udw − → u w
En effet, on a :
d − → u r =
∂ − → u r
∂u
du +
∂ − → u r
∂w
dw
Or :
− → u r = sin u cos w − → u x + sin u sin w − → u y + cos u − → u z
d’où on peut déduire :
∂ − → u r
∂u
= cos u cos w − → u x + cos u sin w − → u y − sin u − → u z = − → u u
∂ − → u r
∂w
= − sin u sin w − → u x + sin u cos w − → u y = sin u − → u w
et
d − → u r = du − → u u + sin udw − → u w
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