Chapitre 23 – Compléments de cinématique du point matériel
Les vecteurs − → u r , − → u u et − → u w dépendent du point M : lorsque le point M se déplace,
ces vecteurs changent également d’orientation, ce qui justifie la dénomination de base
locale.
Le vecteur position
− − →
OM s’écrit dans cette base :
− − →
OM = r − → u r .
z
O
M
M P
− → u z
u M r M
− → u
− → u r
− → u r
− → u u
− → u u
x
y
O
M P
w M
− → u
− → u
− → u w
− → u w
projection dans le plan méridien
projection dans le plan (xOy)
Figure 23.8 Projection de la base locale sphérique dans le plan méridien et dans le
plan (xOy).
On peut exprimer les vecteurs de cette base locale dans la base des coordonnées
cartésiennes : il suffit de projeter les vecteurs − → u r , − → u u et − → u w sur les axes (Ox), (Oy)
et (Oz).
On a :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
− → u r = sin u − → u + cos u − → u z = sin u cos w − → u x + sin u sin w − → u y + cos u − → u z
− → u u = cos u − → u − sin u − → u z = cos u cos w − → u x + cos u sin w − → u y − sin u − → u z
− → u w = − sin w − → u x + cos w − → u y
(23.1)
en notant :
− → u = cos w − → u x + sin w − → u y
Tout vecteur peut se décomposer sur cette base locale selon :
− → w = w r
− → u r + w u
− → u u + w w
− → u w
w r est appelé composante radiale, w u et w w n’ont pas de nom consacré.
On peut cependant remarquer que si M est un point à la surface de la Terre, w u est la
composante nord-sud et w w la composante est-ouest.
d) Déplacement élémentaire
En coordonnées sphériques, on obtient l’expression du déplacement élémentaire par
l’une des deux approches précédemment développées en coordonnées cylindriques.
602
Les vecteurs − → u r , − → u u et − → u w dépendent du point M : lorsque le point M se déplace,
ces vecteurs changent également d’orientation, ce qui justifie la dénomination de base
locale.
Le vecteur position
− − →
OM s’écrit dans cette base :
− − →
OM = r − → u r .
z
O
M
M P
− → u z
u M r M
− → u
− → u r
− → u r
− → u u
− → u u
x
y
O
M P
w M
− → u
− → u
− → u w
− → u w
projection dans le plan méridien
projection dans le plan (xOy)
Figure 23.8 Projection de la base locale sphérique dans le plan méridien et dans le
plan (xOy).
On peut exprimer les vecteurs de cette base locale dans la base des coordonnées
cartésiennes : il suffit de projeter les vecteurs − → u r , − → u u et − → u w sur les axes (Ox), (Oy)
et (Oz).
On a :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
− → u r = sin u − → u + cos u − → u z = sin u cos w − → u x + sin u sin w − → u y + cos u − → u z
− → u u = cos u − → u − sin u − → u z = cos u cos w − → u x + cos u sin w − → u y − sin u − → u z
− → u w = − sin w − → u x + cos w − → u y
(23.1)
en notant :
− → u = cos w − → u x + sin w − → u y
Tout vecteur peut se décomposer sur cette base locale selon :
− → w = w r
− → u r + w u
− → u u + w w
− → u w
w r est appelé composante radiale, w u et w w n’ont pas de nom consacré.
On peut cependant remarquer que si M est un point à la surface de la Terre, w u est la
composante nord-sud et w w la composante est-ouest.
d) Déplacement élémentaire
En coordonnées sphériques, on obtient l’expression du déplacement élémentaire par
l’une des deux approches précédemment développées en coordonnées cylindriques.
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