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Systèmes de coordonnées dans l’espace
On peut inverser ces relations pour obtenir l’expression des coordonnées sphériques
en fonction des coordonnées cartésiennes :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
r =
x 2 + y 2 + z 2
u = arctan
x 2 + y 2
z
[p]
w = arctan
y
x
[p]
u et w sont définis dans un intervalle de définition qui tient compte des signes respectifs de x, y et z qui sont ceux de cos w, sin w et cos u.
Ceci n’est pas possible en tout point :
• u est indéterminé à l’origine où x = y = z = 0,
• w est indéterminé sur l’axe (Oz) où x = y = 0.
Dans les deux cas, l’expression de la tangente des angles est alors une forme indéterminée.
c) Base locale sphérique
Il s’agit de la base locale définie par les trois vecteurs tels que :
• le premier vecteur noté − → u r est un vecteur unitaire dont la direction et le sens sont
ceux du vecteur
− − →
OM,
• le second noté − → u u est un vecteur unitaire dans le plan méridien (Oz, OM) obtenu
par rotation de +
p
2 à partir de − → u r : il est donc tangent au méridien passant par M,
• le troisième noté − → u w est un vecteur unitaire tel que ( − → u r , − → u u , −
→ u w ) soit une base
directe : il est donc perpendiculaire au plan méridien et tangent au parallèle passant
par M.
x
y
z
O
M
M P
H
− → u z
− → u x
− → u y
u M
w M
r M
− → u
− → u r
− → u r − → u w
− → u u
parallèle
passant par M
passant par M
méridien
Figure 23.7 Base locale sphérique.
601
Systèmes de coordonnées dans l’espace
On peut inverser ces relations pour obtenir l’expression des coordonnées sphériques
en fonction des coordonnées cartésiennes :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
r =
x 2 + y 2 + z 2
u = arctan
x 2 + y 2
z
[p]
w = arctan
y
x
[p]
u et w sont définis dans un intervalle de définition qui tient compte des signes respectifs de x, y et z qui sont ceux de cos w, sin w et cos u.
Ceci n’est pas possible en tout point :
• u est indéterminé à l’origine où x = y = z = 0,
• w est indéterminé sur l’axe (Oz) où x = y = 0.
Dans les deux cas, l’expression de la tangente des angles est alors une forme indéterminée.
c) Base locale sphérique
Il s’agit de la base locale définie par les trois vecteurs tels que :
• le premier vecteur noté − → u r est un vecteur unitaire dont la direction et le sens sont
ceux du vecteur
− − →
OM,
• le second noté − → u u est un vecteur unitaire dans le plan méridien (Oz, OM) obtenu
par rotation de +
p
2 à partir de − → u r : il est donc tangent au méridien passant par M,
• le troisième noté − → u w est un vecteur unitaire tel que ( − → u r , − → u u , −
→ u w ) soit une base
directe : il est donc perpendiculaire au plan méridien et tangent au parallèle passant
par M.
x
y
z
O
M
M P
H
− → u z
− → u x
− → u y
u M
w M
r M
− → u
− → u r
− → u r − → u w
− → u u
parallèle
passant par M
passant par M
méridien
Figure 23.7 Base locale sphérique.
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