Chapitre 23 – Compléments de cinématique du point matériel
deux angles u et w. L’angle u est appelé colatitude et est défini comme l’angle entre
un axe fixe noté (Oz) et la droite (OM). L’angle w est appelé longitude ou azimut
et correspond à l’angle entre un axe (Ox) perpendiculaire à l’axe (Oz) précédent et
la droite (OM P ) où M P est la projection de M dans le plan perpendiculaire à (Oz)
passant par O. Les coordonnées sphériques de M sont (r, u, w), souvent notées r M , u M
et w M sur les figures.
x
y
z
r M
u M
w M
O
M
M P
H
− → u z
− → u x
− → u y
Figure 23.6 Coordonnées sphériques.
Par définition, r est une distance et
est donc positif. On peut noter que
pour décrire la totalité des points de
l’espace, les angles u et w ne peuvent
pas appartenir tous les deux à un
intervalle d’amplitude 2p : l’un des
deux doit se limiter à une amplitude
de p. Habituellement, on prend u
dans l’intervalle [0, p] et w dans l’intervalle [0, 2p].
On peut également définir (Cf.
figure 23.7) :
• le parallèle passant par M comme le
cercle de centre H, projeté orthogonal de M sur l’axe Oz, passant
par M et situé dans un plan parallèle à (xOy),
• le méridien passant par M comme le cercle de centre O de rayon r passant par M
dans un plan perpendiculaire à (xOy),
• le plan méridien passant par M comme le plan contenant le méridien passant par M.
On notera que le plan méridien est un plan d’équation w = w 0 où w 0 est une
constante, r et u correspondent alors aux coordonnées polaires du point M dans ce
plan.
b) Lien avec les coordonnées cartésiennes
Comme pour les coordonnées cylindriques, on peut relier les composantes des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes. Il suffit pour cela de projeter le
vecteur
− − →
OM sur les axes (Ox), (Oy) et (Oz) (tels que les vecteurs directeurs de ces
axes ( − → u x , −
→ u y , −
→ u z ) forment une base directe) :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x = r sin u cos w
y = r sin u sin w
z = r cos u
600
deux angles u et w. L’angle u est appelé colatitude et est défini comme l’angle entre
un axe fixe noté (Oz) et la droite (OM). L’angle w est appelé longitude ou azimut
et correspond à l’angle entre un axe (Ox) perpendiculaire à l’axe (Oz) précédent et
la droite (OM P ) où M P est la projection de M dans le plan perpendiculaire à (Oz)
passant par O. Les coordonnées sphériques de M sont (r, u, w), souvent notées r M , u M
et w M sur les figures.
x
y
z
r M
u M
w M
O
M
M P
H
− → u z
− → u x
− → u y
Figure 23.6 Coordonnées sphériques.
Par définition, r est une distance et
est donc positif. On peut noter que
pour décrire la totalité des points de
l’espace, les angles u et w ne peuvent
pas appartenir tous les deux à un
intervalle d’amplitude 2p : l’un des
deux doit se limiter à une amplitude
de p. Habituellement, on prend u
dans l’intervalle [0, p] et w dans l’intervalle [0, 2p].
On peut également définir (Cf.
figure 23.7) :
• le parallèle passant par M comme le
cercle de centre H, projeté orthogonal de M sur l’axe Oz, passant
par M et situé dans un plan parallèle à (xOy),
• le méridien passant par M comme le cercle de centre O de rayon r passant par M
dans un plan perpendiculaire à (xOy),
• le plan méridien passant par M comme le plan contenant le méridien passant par M.
On notera que le plan méridien est un plan d’équation w = w 0 où w 0 est une
constante, r et u correspondent alors aux coordonnées polaires du point M dans ce
plan.
b) Lien avec les coordonnées cartésiennes
Comme pour les coordonnées cylindriques, on peut relier les composantes des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes. Il suffit pour cela de projeter le
vecteur
− − →
OM sur les axes (Ox), (Oy) et (Oz) (tels que les vecteurs directeurs de ces
axes ( − → u x , −
→ u y , −
→ u z ) forment une base directe) :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x = r sin u cos w
y = r sin u sin w
z = r cos u
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