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Systèmes de coordonnées dans l’espace
d) Déplacement élémentaire
En coordonnées cylindriques, deux approches sont possibles pour déterminer le déplacement élémentaire.
1. Approche géométrique :
Les variables r, u, z sont indépendantes : l’expression du déplacement élémentaire
est donc la somme des déplacements élémentaires correspondant à la variation d’une
seule variable.
• une variation dr de r correspond à un mouvement le long de la droite (OM)
soit : dr − → u r ,
• une variation du de u correspond à un déplacement circulaire de centre O, de
rayon r et d’angle du de longueur rdu suivant − → u u : rdu − → u u ,
• une variation dz de z correspond à un mouvement le long de l’axe (Mz) soit :
dz − → u z .
v
x
y
z
z M
r M
u M
M
M P
− → u z
− → u r
− → u u
dz
dr rdu
Figure 23.5 Déplacements élémentaires
en coordonnées cylindriques.
Au final, le déplacement élémentaire
s’écrit :
d
− − →
OM = dr − → u r + rdu − → u u + dz − → u z
2. Différenciation du vecteur
− − →
OM :
− − →
OM = r − → u r + z − → u z
d
− − →
OM = d
r − → u r + z − → u z
= dr − → u r + rd − → u r + dz − → u z
= dr − → u r + rdu − → u u + dz − → u z
en utilisant le résultat établi en première période pour les coordonnées
polaires :
d − → u r = du − → u u
1.3 Coordonnées sphériques
On peut dans l’espace définir un troisième système de coordonnées : les coordonnées
sphériques. La base associée, comme pour les coordonnées cylindriques, est une base
mobile.
a) Définition
La symétrie sphérique consiste à privilégier un point O et les rotations autour de
ce point. La position est alors définie par la distance r du point M au point O et
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