Chapitre 23 – Compléments de cinématique du point matériel
La valeur de u sera précisée dans l’intervalle [0 , 2p] en fonction des signes respectifs
de x et y qui sont ceux de cos u et sin u.
Ceci n’est possible qu’en dehors de l’origine O. En ce point, x = y = 0, donc la
tangente de l’angle u en O est une forme indéterminée.
c) Base locale cylindrique
On rappelle que les bases locales correspondent à des bases définies en chaque point
M de l’espace et adaptées au type de coordonnées choisies. Ainsi pour définir la base
locale des coordonnées cylindriques, on remplace les vecteurs de base ( − → u x , −
→ u y , −
→ u z )
adaptés aux coordonnées cartésiennes par des vecteurs de base adaptés aux coordonnées cylindriques.
On rappelle également que le fait que la base « suive » le point M dans son mouvement
définit une base mobile où les vecteurs de base bougent avec le point contrairement
à la base des coordonnées cartésiennes qui est fixe.
x
y
z
z M
r M
u M
O
M
M P
− → u z
− → u z
− → u r
− → u r
− → u u
− → u u
Figure 23.4 Base locale cylindrique.
On construit ainsi la base locale définie
par les trois vecteurs suivants :
• le premier vecteur noté − → u r est un vecteur unitaire dont la direction et le sens
sont ceux du vecteur
− −− →
OM P ,
• le second noté − → u u est un vecteur unitaire dans le plan polaire obtenu par
rotation autour de l’axe Oz de +
p
2 à
partir de − → u r ,
• le troisième noté − → u z (ou
− →
k ) est un vecteur unitaire suivant l’axe (Oz).
Les vecteurs − → u r et − → u u dépendent du point
M et se déplacent avec celui-ci, d’où la
dénomination locale donnée à cette base.
Le vecteur-position
− − →
OM s’écrit dans cette base :
− − →
OM = r − → u r + z − → u z .
On peut exprimer les vecteurs de cette base locale dans la base des coordonnées
cartésiennes : il suffit de projeter les vecteurs − → u r et − → u u sur les axes (Ox) et (Oy), l’axe
(Oz) restant fixe.
On obtient :
− → u r = cos u − → u x + sin u − → u y
− → u u = − sin u − → u x + cos u − → u y
Tout vecteur peut se décomposer sur cette base selon :
− → w = w r
− → u r + w u
− → u u + w z
− → u z
w r est appelé composante radiale, w u composante orthoradiale et w z composante axiale.
598
La valeur de u sera précisée dans l’intervalle [0 , 2p] en fonction des signes respectifs
de x et y qui sont ceux de cos u et sin u.
Ceci n’est possible qu’en dehors de l’origine O. En ce point, x = y = 0, donc la
tangente de l’angle u en O est une forme indéterminée.
c) Base locale cylindrique
On rappelle que les bases locales correspondent à des bases définies en chaque point
M de l’espace et adaptées au type de coordonnées choisies. Ainsi pour définir la base
locale des coordonnées cylindriques, on remplace les vecteurs de base ( − → u x , −
→ u y , −
→ u z )
adaptés aux coordonnées cartésiennes par des vecteurs de base adaptés aux coordonnées cylindriques.
On rappelle également que le fait que la base « suive » le point M dans son mouvement
définit une base mobile où les vecteurs de base bougent avec le point contrairement
à la base des coordonnées cartésiennes qui est fixe.
x
y
z
z M
r M
u M
O
M
M P
− → u z
− → u z
− → u r
− → u r
− → u u
− → u u
Figure 23.4 Base locale cylindrique.
On construit ainsi la base locale définie
par les trois vecteurs suivants :
• le premier vecteur noté − → u r est un vecteur unitaire dont la direction et le sens
sont ceux du vecteur
− −− →
OM P ,
• le second noté − → u u est un vecteur unitaire dans le plan polaire obtenu par
rotation autour de l’axe Oz de +
p
2 à
partir de − → u r ,
• le troisième noté − → u z (ou
− →
k ) est un vecteur unitaire suivant l’axe (Oz).
Les vecteurs − → u r et − → u u dépendent du point
M et se déplacent avec celui-ci, d’où la
dénomination locale donnée à cette base.
Le vecteur-position
− − →
OM s’écrit dans cette base :
− − →
OM = r − → u r + z − → u z .
On peut exprimer les vecteurs de cette base locale dans la base des coordonnées
cartésiennes : il suffit de projeter les vecteurs − → u r et − → u u sur les axes (Ox) et (Oy), l’axe
(Oz) restant fixe.
On obtient :
− → u r = cos u − → u x + sin u − → u y
− → u u = − sin u − → u x + cos u − → u y
Tout vecteur peut se décomposer sur cette base selon :
− → w = w r
− → u r + w u
− → u u + w z
− → u z
w r est appelé composante radiale, w u composante orthoradiale et w z composante axiale.
598