© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Systèmes de coordonnées dans l’espace
a) Définition
x
y
z
z M
r M
u M
O
M
M P
− → u z − → u y
− → u z
Figure 23.3 Coordonnées
cartésiennes.
On privilégie un axe (Oz) qui est souvent
l’axe de symétrie cylindrique du problème.
La position d’un point M est alors définie
par l’altitude z et la distance r du point M à
l’axe (Oz).
On appelle plan polaire le plan perpendiculaire à l’axe (Oz) passant par M et on notera
M P le projeté orthogonal de M sur le plan
(xOy).
Dans le plan (xOy), on repère M P par ses
coordonnées polaires r et u. On rappelle
que u est un angle de rotation orienté
appelé angle polaire.
Les coordonnées cylindriques de M sont
donc (r, u, z). Pour éviter des confusions,
elles seront souvent notées par la suite r M ,
u M et z M sur les figures.
On rappelle que r est une distance et est donc positif. On peut noter alors que pour
décrire la totalité des points de l’espace (ou du plan), l’angle u doit décrire un segment
d’amplitude 2p. Habituellement, on prend u dans l’intervalle [0, 2p].
b) Lien avec les coordonnées cartésiennes
On peut relier les composantes en coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes. Il suffit pour cela de choisir l’axe (Ox) par exemple comme axe de référence
pour l’angle de rotation u et de projeter sur les axes (Ox) et (Oy) comme cela a déjà
été fait pour établir le lien entre coordonnées polaires et cartésiennes :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x = r cos u
y = r sin u
z = z
On peut inverser ces relations pour obtenir l’expression des coordonnées cylindriques
en fonction des coordonnées cartésiennes :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
r =
x 2 + y 2
u = arctan
y
x
[p]
z = z
597
Systèmes de coordonnées dans l’espace
a) Définition
x
y
z
z M
r M
u M
O
M
M P
− → u z − → u y
− → u z
Figure 23.3 Coordonnées
cartésiennes.
On privilégie un axe (Oz) qui est souvent
l’axe de symétrie cylindrique du problème.
La position d’un point M est alors définie
par l’altitude z et la distance r du point M à
l’axe (Oz).
On appelle plan polaire le plan perpendiculaire à l’axe (Oz) passant par M et on notera
M P le projeté orthogonal de M sur le plan
(xOy).
Dans le plan (xOy), on repère M P par ses
coordonnées polaires r et u. On rappelle
que u est un angle de rotation orienté
appelé angle polaire.
Les coordonnées cylindriques de M sont
donc (r, u, z). Pour éviter des confusions,
elles seront souvent notées par la suite r M ,
u M et z M sur les figures.
On rappelle que r est une distance et est donc positif. On peut noter alors que pour
décrire la totalité des points de l’espace (ou du plan), l’angle u doit décrire un segment
d’amplitude 2p. Habituellement, on prend u dans l’intervalle [0, 2p].
b) Lien avec les coordonnées cartésiennes
On peut relier les composantes en coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes. Il suffit pour cela de choisir l’axe (Ox) par exemple comme axe de référence
pour l’angle de rotation u et de projeter sur les axes (Ox) et (Oy) comme cela a déjà
été fait pour établir le lien entre coordonnées polaires et cartésiennes :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x = r cos u
y = r sin u
z = z
On peut inverser ces relations pour obtenir l’expression des coordonnées cylindriques
en fonction des coordonnées cartésiennes :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
r =
x 2 + y 2
u = arctan
y
x
[p]
z = z
597