1. Exprimer la fonction de transfert H =
vs
ve sous la forme :
A
1 + jQ
x −
1
x
en notant x =
v
v 0
.
On exprimera A, Q et v 0 en fonction de R 1 , L 1 , C 1 et s.
2. Quelle est la nature de ce filtre ?
3. Déterminer la bande passante de ce filtre.
4. On définit le taux d’harmonique de rang n d’un signal périodique par le rapport t n =
V n
V 1
de l’amplitude V n de l’harmonique de rang n à l’amplitude V 1 du fondamental. On note t n,e
et t n,s les taux d’harmonique de rang n respectivement des signaux d’entrée et de sortie.
Calculer le taux d’atténuation d n =
t n,s
t n,e
de l’harmonique de rang n en fonction de Q et de n.
5. Pour quelle valeur de Q a-t-on un taux d’atténuation de -20 dB pour l’harmonique de
rang 2 ? Même question pour un taux d’atténuation de -40 dB. On choisit pour la suite cette
deuxième valeur du facteur de qualité.
6. La décomposition en séries de Fourier d’un créneau entre E 1 et E 2 s’écrit :
E 1 + E 2
2
+
+∞
p=0
2 (E 1 − E 2 )
(2p + 1) p
sin (2p + 1)
2p
T
t
Le signal d’entrée est un créneau de pulsation v 0 . Quelle est l’allure du signal de sortie ?
Justifier la réponse.
2.
Filtre passe-bas à structure de Rauch, d’après École de l’Air PSI 1999
Ce problème est la suite de l’exercice B.3 du chapitre précédent. On s’y reportera pour les
notations et les calculs préliminaires. Le lecteur est également invité à étudier le chapitre traité
dans la suite sur l’amplificateur opérationnel dont il est fait usage ici.
On suppose dans ce problème que Z 1 , Z 2 et Z 4 sont des résistances identiques R et que Z 3 et
Z 5 sont des condensateurs de capacité respective C 2 et C 1 . Les notations sont les mêmes que
celles utilisées dans l’exercice B.3 du chapitre précédent.
1. Préciser dans ce cas la fonction de transfert qu’on notera G en fonction de R et C et
montrer qu’on peut l’écrire sous la forme :
G =
G 0
1 + 2jm
v
v0 −
v 2
v 2
0
On explicitera les expressions de m, G 0 et v 0 .
2. En déduire l’équation différentielle vérifiée par s(t).
3. Que décrit la solution générale de cette équation ? Préciser les différentes allures possibles
de cette solution générale.
4. On applique une tension constante E 0 à partir de l’instant t = 0, les deux condensateurs
étant initialement déchargés. Donner, en les justifiant, les valeurs de s(t) quand t → 0
+ (notée
s(0
+ )) et quand t → ∞ (notée s(∞)). A quoi correspond physiquement la valeur de s(∞) ?
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vs
ve sous la forme :
A
1 + jQ
x −
1
x
en notant x =
v
v 0
.
On exprimera A, Q et v 0 en fonction de R 1 , L 1 , C 1 et s.
2. Quelle est la nature de ce filtre ?
3. Déterminer la bande passante de ce filtre.
4. On définit le taux d’harmonique de rang n d’un signal périodique par le rapport t n =
V n
V 1
de l’amplitude V n de l’harmonique de rang n à l’amplitude V 1 du fondamental. On note t n,e
et t n,s les taux d’harmonique de rang n respectivement des signaux d’entrée et de sortie.
Calculer le taux d’atténuation d n =
t n,s
t n,e
de l’harmonique de rang n en fonction de Q et de n.
5. Pour quelle valeur de Q a-t-on un taux d’atténuation de -20 dB pour l’harmonique de
rang 2 ? Même question pour un taux d’atténuation de -40 dB. On choisit pour la suite cette
deuxième valeur du facteur de qualité.
6. La décomposition en séries de Fourier d’un créneau entre E 1 et E 2 s’écrit :
E 1 + E 2
2
+
+∞
p=0
2 (E 1 − E 2 )
(2p + 1) p
sin (2p + 1)
2p
T
t
Le signal d’entrée est un créneau de pulsation v 0 . Quelle est l’allure du signal de sortie ?
Justifier la réponse.
2.
Filtre passe-bas à structure de Rauch, d’après École de l’Air PSI 1999
Ce problème est la suite de l’exercice B.3 du chapitre précédent. On s’y reportera pour les
notations et les calculs préliminaires. Le lecteur est également invité à étudier le chapitre traité
dans la suite sur l’amplificateur opérationnel dont il est fait usage ici.
On suppose dans ce problème que Z 1 , Z 2 et Z 4 sont des résistances identiques R et que Z 3 et
Z 5 sont des condensateurs de capacité respective C 2 et C 1 . Les notations sont les mêmes que
celles utilisées dans l’exercice B.3 du chapitre précédent.
1. Préciser dans ce cas la fonction de transfert qu’on notera G en fonction de R et C et
montrer qu’on peut l’écrire sous la forme :
G =
G 0
1 + 2jm
v
v0 −
v 2
v 2
0
On explicitera les expressions de m, G 0 et v 0 .
2. En déduire l’équation différentielle vérifiée par s(t).
3. Que décrit la solution générale de cette équation ? Préciser les différentes allures possibles
de cette solution générale.
4. On applique une tension constante E 0 à partir de l’instant t = 0, les deux condensateurs
étant initialement déchargés. Donner, en les justifiant, les valeurs de s(t) quand t → 0
+ (notée
s(0
+ )) et quand t → ∞ (notée s(∞)). A quoi correspond physiquement la valeur de s(∞) ?
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