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Analyse harmonique et circuits linéaires
2. Analyse harmonique et circuits linéaires
2.1 Importance de l’analyse harmonique pour les circuits linéaires
La propriété fondamentale des systèmes linéaires est le principe dit de superposition
qui se traduit par le fait que la somme de solutions est également solution du problème.
De ce fait, la décomposition de Fourier, qui permet d’écrire un signal sous la forme
d’une somme de différentes composantes sinusoïdales, est particulièrement adaptée
aux systèmes linéaires.
En effet, si on considère un signal d’entrée e(t) périodique pouvant s’écrire sous la
forme d’une série de Fourier, on pourra utiliser la procédure d’analyse suivante :
1. effectuer la décomposition en séries de Fourier de e(t),
2. résoudre le problème pour chaque composante sinusoïdale de la décomposition
en utilisant les complexes par exemple, et obtenir les différentes réponses de la
décomposition en séries de Fourier,
3. déduire la solution en prenant la combinaison linéaire des différentes réponses.
On constate donc l’importance de la décomposition de Fourier pour les circuits
linéaires. Cela justifie a posteriori l’étude des régimes sinusoïdaux du fait de leur rôle
particulier dans les problèmes linéaires.
Cette idée est tout à fait générale : dans tous les domaines où on n’aura que des
équations linéaires, la décomposition de Fourier et les réponses sinusoïdales auront ce
rôle particulier. On pourra déterminer les réponses pour chaque pulsation et obtenir le
résultat final par combinaison linéaire des différentes solutions trouvées. Cela justifie
d’une part l’importance considérable des régimes sinusoïdaux en physique et d’autre
part l’intérêt porté aux problèmes linéarisés pour lesquels cette technique peut être
appliquée.
2.2 Lien avec les fonctions de transfert et les diagrammes de Bode
On rappelle que la fonction de transfert d’un système linéaire d’entrée e(t) et de sortie
s(t) s’écrit à l’aide de la notation complexe :
H(jv) =
s
e
On s’était alors placé dans le cadre de signaux sinusoïdaux.
La décomposition en série de Fourier de tout signal périodique permet de généraliser
l’utilisation de cette notion au cas de signaux périodiques mais non sinusoïdaux.
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Analyse harmonique et circuits linéaires
2. Analyse harmonique et circuits linéaires
2.1 Importance de l’analyse harmonique pour les circuits linéaires
La propriété fondamentale des systèmes linéaires est le principe dit de superposition
qui se traduit par le fait que la somme de solutions est également solution du problème.
De ce fait, la décomposition de Fourier, qui permet d’écrire un signal sous la forme
d’une somme de différentes composantes sinusoïdales, est particulièrement adaptée
aux systèmes linéaires.
En effet, si on considère un signal d’entrée e(t) périodique pouvant s’écrire sous la
forme d’une série de Fourier, on pourra utiliser la procédure d’analyse suivante :
1. effectuer la décomposition en séries de Fourier de e(t),
2. résoudre le problème pour chaque composante sinusoïdale de la décomposition
en utilisant les complexes par exemple, et obtenir les différentes réponses de la
décomposition en séries de Fourier,
3. déduire la solution en prenant la combinaison linéaire des différentes réponses.
On constate donc l’importance de la décomposition de Fourier pour les circuits
linéaires. Cela justifie a posteriori l’étude des régimes sinusoïdaux du fait de leur rôle
particulier dans les problèmes linéaires.
Cette idée est tout à fait générale : dans tous les domaines où on n’aura que des
équations linéaires, la décomposition de Fourier et les réponses sinusoïdales auront ce
rôle particulier. On pourra déterminer les réponses pour chaque pulsation et obtenir le
résultat final par combinaison linéaire des différentes solutions trouvées. Cela justifie
d’une part l’importance considérable des régimes sinusoïdaux en physique et d’autre
part l’intérêt porté aux problèmes linéarisés pour lesquels cette technique peut être
appliquée.
2.2 Lien avec les fonctions de transfert et les diagrammes de Bode
On rappelle que la fonction de transfert d’un système linéaire d’entrée e(t) et de sortie
s(t) s’écrit à l’aide de la notation complexe :
H(jv) =
s
e
On s’était alors placé dans le cadre de signaux sinusoïdaux.
La décomposition en série de Fourier de tout signal périodique permet de généraliser
l’utilisation de cette notion au cas de signaux périodiques mais non sinusoïdaux.
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