Chapitre 19 – Étude expérimentale de quelques filtres
L’ensemble des coefficients a n et b n constituent le spectre de Fourier du signal.
On peut noter que la fréquence de base ou fréquence du fondamental est celle du
signal périodique f (t).
On peut également remarquer que le développement en séries de Fourier peut s’écrire
sous la forme :
f (t) =
a 0
2
+
+∞
n=1
A n cos (nvt + w n )
En effet, on a :
A n cos (nvt + w n ) = A n cos (nvt) cos w n − A n sin (nvt) sin w n
soit en identifiant aux coefficients a n et b n :
a n = A n cos w n
b n = −A n sin w n
1.4 Remarque sur le contenu spectral
Dans les exemples traités (signal carré ou signal triangulaire), on peut remarquer que
les harmoniques d’ordre élevé ont des amplitudes plus importantes pour le signal carré
que pour le signal triangulaire (la décroissance des coefficients est en
1
n
au lieu d’être
en
1
n 2 ). Le créneau présente deux variations brutales au moment des discontinuités
que les signaux sinusoïdaux ont du mal à rendre compte.
La décroissance des coefficients montre qu’il est possible, suivant le degré d’approximation qu’on accepte, de négliger les harmoniques d’ordre élevé sans que cela nuise
fortement à la description du comportement. On parlera alors de somme partielle d’ordre
n de Fourier lorsqu’on se limite aux harmoniques d’ordre inférieur ou égal à n.
Enfin, lorsqu’on compare les décroissances en
1
n
pour le signal carré et en
1
n 2 pour
le signal triangulaire, on note qu’il faudra plus d’harmoniques pour le signal carré
que pour le signal triangulaire pour un même degré d’approximation. Il s’agit d’une
propriété générale : le contenu spectral est d’autant plus riche en harmoniques d’ordre
élevé qu’on a des variations rapides. C’est logique sachant que les variations rapides
correspondent à des fréquences élevées.
1.5 Généralisation
On s’est limité ici aux cas des fonctions périodiques. La notion d’analyse harmonique
peut se généraliser aux fonctions non périodiques grâce à la transformée de Fourier.
C’est ce qui sera vu dans le cours de seconde année.
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L’ensemble des coefficients a n et b n constituent le spectre de Fourier du signal.
On peut noter que la fréquence de base ou fréquence du fondamental est celle du
signal périodique f (t).
On peut également remarquer que le développement en séries de Fourier peut s’écrire
sous la forme :
f (t) =
a 0
2
+
+∞
n=1
A n cos (nvt + w n )
En effet, on a :
A n cos (nvt + w n ) = A n cos (nvt) cos w n − A n sin (nvt) sin w n
soit en identifiant aux coefficients a n et b n :
a n = A n cos w n
b n = −A n sin w n
1.4 Remarque sur le contenu spectral
Dans les exemples traités (signal carré ou signal triangulaire), on peut remarquer que
les harmoniques d’ordre élevé ont des amplitudes plus importantes pour le signal carré
que pour le signal triangulaire (la décroissance des coefficients est en
1
n
au lieu d’être
en
1
n 2 ). Le créneau présente deux variations brutales au moment des discontinuités
que les signaux sinusoïdaux ont du mal à rendre compte.
La décroissance des coefficients montre qu’il est possible, suivant le degré d’approximation qu’on accepte, de négliger les harmoniques d’ordre élevé sans que cela nuise
fortement à la description du comportement. On parlera alors de somme partielle d’ordre
n de Fourier lorsqu’on se limite aux harmoniques d’ordre inférieur ou égal à n.
Enfin, lorsqu’on compare les décroissances en
1
n
pour le signal carré et en
1
n 2 pour
le signal triangulaire, on note qu’il faudra plus d’harmoniques pour le signal carré
que pour le signal triangulaire pour un même degré d’approximation. Il s’agit d’une
propriété générale : le contenu spectral est d’autant plus riche en harmoniques d’ordre
élevé qu’on a des variations rapides. C’est logique sachant que les variations rapides
correspondent à des fréquences élevées.
1.5 Généralisation
On s’est limité ici aux cas des fonctions périodiques. La notion d’analyse harmonique
peut se généraliser aux fonctions non périodiques grâce à la transformée de Fourier.
C’est ce qui sera vu dans le cours de seconde année.
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