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Décomposition harmonique d’un signal
On peut remarquer que le signal triangulaire se recompose plus facilement que le signal créneau. Ceci s’explique par la moins bonne régularité du créneau (il y a des points où le signal
est discontinu) par rapport au triangle (les discontinuités concernent seulement la dérivée, le
signal est continu). Il s’agit d’un résultat général : plus le signal présente de discontinuités, plus
il faudra de termes dans les sommes partielles pour le reconstituer.
1.3 Analyse harmonique
À partir de la décomposition en séries de Fourier :
f (t) =
a 0
2
+
+∞
n=1
a n cos (nvt) + b n sin (nvt)
on peut donner les définitions suivantes.
a) Composante continue
Le coefficient a 0 correspond à la composante continue du signal, à savoir la partie du
signal correspondant à la fréquence nulle. Il peut également être relié à la valeur
moyenne du signal sur une période :
a 0 =
2
T
t0+T
t0
f (t) cos (0 × vt) dt =
2
T
t0+T
t0
f (t)dt = 2 < f (t) > T
Le coefficient a 0 est non nul si et seulement si le signal n’est pas centré autour de la
valeur 0.
b) Fondamental et harmoniques
Le terme correspondant à n = 1 constitue le fondamental dont la fréquence est celle
du signal. La pulsation v est celle du fondamental et f =
v
2p est la fréquence du
fondamental.
Pour n > 1, ce sont les harmoniques d’ordre n dont les fréquences sont des multiples de
la fréquence du fondamental, à savoir de la fréquence du signal.
c) Analyse harmonique
Réaliser la décomposition en séries de Fourier d’un signal périodique consiste à
rechercher les valeurs prises par les différents coefficients a n et b n pour la fonction
f (t) périodique considérée.
On dit qu’on effectue l’analyse harmonique ou l’analyse spectrale du signal lorsqu’on
recherche les fréquences présentes dans la décomposition de Fourier et qu’on détermine les amplitudes correspondantes (données par les coefficients a n et b n ). Il y a donc
deux aspects à l’analyse spectrale :
• connaître les fréquences présentes dans le signal,
• déterminer leur importance relative via l’amplitude correspondante.
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Décomposition harmonique d’un signal
On peut remarquer que le signal triangulaire se recompose plus facilement que le signal créneau. Ceci s’explique par la moins bonne régularité du créneau (il y a des points où le signal
est discontinu) par rapport au triangle (les discontinuités concernent seulement la dérivée, le
signal est continu). Il s’agit d’un résultat général : plus le signal présente de discontinuités, plus
il faudra de termes dans les sommes partielles pour le reconstituer.
1.3 Analyse harmonique
À partir de la décomposition en séries de Fourier :
f (t) =
a 0
2
+
+∞
n=1
a n cos (nvt) + b n sin (nvt)
on peut donner les définitions suivantes.
a) Composante continue
Le coefficient a 0 correspond à la composante continue du signal, à savoir la partie du
signal correspondant à la fréquence nulle. Il peut également être relié à la valeur
moyenne du signal sur une période :
a 0 =
2
T
t0+T
t0
f (t) cos (0 × vt) dt =
2
T
t0+T
t0
f (t)dt = 2 < f (t) > T
Le coefficient a 0 est non nul si et seulement si le signal n’est pas centré autour de la
valeur 0.
b) Fondamental et harmoniques
Le terme correspondant à n = 1 constitue le fondamental dont la fréquence est celle
du signal. La pulsation v est celle du fondamental et f =
v
2p est la fréquence du
fondamental.
Pour n > 1, ce sont les harmoniques d’ordre n dont les fréquences sont des multiples de
la fréquence du fondamental, à savoir de la fréquence du signal.
c) Analyse harmonique
Réaliser la décomposition en séries de Fourier d’un signal périodique consiste à
rechercher les valeurs prises par les différents coefficients a n et b n pour la fonction
f (t) périodique considérée.
On dit qu’on effectue l’analyse harmonique ou l’analyse spectrale du signal lorsqu’on
recherche les fréquences présentes dans la décomposition de Fourier et qu’on détermine les amplitudes correspondantes (données par les coefficients a n et b n ). Il y a donc
deux aspects à l’analyse spectrale :
• connaître les fréquences présentes dans le signal,
• déterminer leur importance relative via l’amplitude correspondante.
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