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Lien entre fonction de transfert et équation différentielle
La fonction de transfert peut être obtenue soit à partir de l’équation différentielle en
utilisant l’analogie entre dérivation dans l’espace des réels et multiplication par jv dans
l’espace des complexes, soit directement en écrivant des lois des nœuds et des lois des
mailles en notation complexe.
Le passage de la fonction de transfert à l’équation différentielle est également possible.
Cette approche est particulièrement importante car elle fournit une nouvelle façon
d’obtenir l’équation différentielle relative à un système :
• établir la fonction de transfert du système,
• remplacer formellement jv par une dérivation par rapport au temps.
Cette deuxième solution est souvent plus rapide, notamment lorsqu’on a un condensateur ou une bobine pour lesquels on ne sait pas forcément a priori quelle variable
choisir entre tension et intensité. Par exemple, il est difficile d’appliquer la loi des
mailles avec un condensateur puisque les tensions s’ajoutent et que la relation fait
intervenir l’intensité et la dérivée de la tension par rapport au temps. Pour les mêmes
raisons, en inversant tension et intensité, il n’est pas simple d’appliquer la loi des nœuds
pour une bobine pour laquelle les intensités s’ajoutent et pour laquelle on a une relation entre la tension et la dérivée de l’intensité. Dans de telles situations, on préférera
appliquer la notion de fonction de transfert puis la traduire en équation différentielle.
On pourra le faire que l’entrée soit ou non sinusoïdale. Plusieurs arguments peuvent
le justifier. Le premier consiste à considérer cette approche comme une méthode
purement formelle basée sur la correspondance parfaite entre dérivation réelle et multiplication par jv dans l’espace des complexes. Par ailleurs, dans le chapitre suivant,
on verra qu’un signal périodique peut être décomposé sous la forme d’une somme
de sinusoïdes. Pour chaque terme de la décomposition, le passage par la fonction de
transfert est parfaitement justifié. Les équations étant linéaires, on peut alors sommer
les contributions des différentes sinusoïdes pour obtenir l’équation finale. On notera
que cette justification pourra se généraliser au cas de signaux non périodiques suffisamment réguliers en utilisant la transformation de Fourier. Il sera également vu dans
le cadre du cours de Sciences Industrielles et dans celui du cours de seconde année
option PSI une autre généralisation avec la transformée de Laplace.
Il ne faut cependant pas oublier que la notion de fonction de transfert a été introduite dans
le cadre du régime sinusoïdal forcé, aspect fortement rappelé par la présence des termes en
jv. Il faudra donc être très prudent dans l’utilisation des fonctions de transfert pour obtenir
les équations différentielles afin de ne pas raconter de grosses bêtises.
On retiendra donc que les opérations de multiplication et de division par jv au niveau
de la fonction de transfert se traduisent respectivement par des dérivations et des
intégrations pour les équations différentielles.
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Lien entre fonction de transfert et équation différentielle
La fonction de transfert peut être obtenue soit à partir de l’équation différentielle en
utilisant l’analogie entre dérivation dans l’espace des réels et multiplication par jv dans
l’espace des complexes, soit directement en écrivant des lois des nœuds et des lois des
mailles en notation complexe.
Le passage de la fonction de transfert à l’équation différentielle est également possible.
Cette approche est particulièrement importante car elle fournit une nouvelle façon
d’obtenir l’équation différentielle relative à un système :
• établir la fonction de transfert du système,
• remplacer formellement jv par une dérivation par rapport au temps.
Cette deuxième solution est souvent plus rapide, notamment lorsqu’on a un condensateur ou une bobine pour lesquels on ne sait pas forcément a priori quelle variable
choisir entre tension et intensité. Par exemple, il est difficile d’appliquer la loi des
mailles avec un condensateur puisque les tensions s’ajoutent et que la relation fait
intervenir l’intensité et la dérivée de la tension par rapport au temps. Pour les mêmes
raisons, en inversant tension et intensité, il n’est pas simple d’appliquer la loi des nœuds
pour une bobine pour laquelle les intensités s’ajoutent et pour laquelle on a une relation entre la tension et la dérivée de l’intensité. Dans de telles situations, on préférera
appliquer la notion de fonction de transfert puis la traduire en équation différentielle.
On pourra le faire que l’entrée soit ou non sinusoïdale. Plusieurs arguments peuvent
le justifier. Le premier consiste à considérer cette approche comme une méthode
purement formelle basée sur la correspondance parfaite entre dérivation réelle et multiplication par jv dans l’espace des complexes. Par ailleurs, dans le chapitre suivant,
on verra qu’un signal périodique peut être décomposé sous la forme d’une somme
de sinusoïdes. Pour chaque terme de la décomposition, le passage par la fonction de
transfert est parfaitement justifié. Les équations étant linéaires, on peut alors sommer
les contributions des différentes sinusoïdes pour obtenir l’équation finale. On notera
que cette justification pourra se généraliser au cas de signaux non périodiques suffisamment réguliers en utilisant la transformation de Fourier. Il sera également vu dans
le cadre du cours de Sciences Industrielles et dans celui du cours de seconde année
option PSI une autre généralisation avec la transformée de Laplace.
Il ne faut cependant pas oublier que la notion de fonction de transfert a été introduite dans
le cadre du régime sinusoïdal forcé, aspect fortement rappelé par la présence des termes en
jv. Il faudra donc être très prudent dans l’utilisation des fonctions de transfert pour obtenir
les équations différentielles afin de ne pas raconter de grosses bêtises.
On retiendra donc que les opérations de multiplication et de division par jv au niveau
de la fonction de transfert se traduisent respectivement par des dérivations et des
intégrations pour les équations différentielles.
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