© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Filtres du deuxième ordre (PCSI, PTSI)
La largeur de la bande rejetée est obtenue par différence des deux pulsations de coupure :
Dv = v h − v b =
v 0
Q
(18.25)
C’est la même expression que pour la bande passante et on retrouve que la bande
rejetée est d’autant plus étroite que le facteur de qualité est grand.
e) Étude de la phase
Comme pour les autres filtres, l’étude sera faite pour H 0 = 1. On commence par
calculer les équivalents de H en T.B.F. et T.H.F.
• En T.B.F., x 1 et, en ne gardant que les termes de plus bas degré en x au
dénominateur et au numérateur, on trouve H 1. Ainsi l’argument de H, réel
positif, est w = 0.
• En T.H.F., x 1 et, en ne gardant que les termes de plus haut degré en x au
dénominateur et au numérateur, on trouve H
x
2
x 2 donc w = 0.
Attention comme pour les filtres précédents au cas où H 0 est différent de 1 : s’il
est positif, le résultat n’est pas modifié ; s’il est négatif, il faut ajouter p aux phases
déterminées ci-dessus.
En utilisant toujours les mêmes notations , w = w N − w D . On s’aperçoit alors qu’il
n’est pas facile de faire l’étude car w N et w D dépendent de la pulsation. On a intérêt à
diviser numérateur et dénominateur par 1 − x
2 , ce qui donne :
H =
1
1 +
jx
Q(1 − x 2 )
alors w N = 0 et on peut faire l’étude de w D plus facilement.
tan w D =
x
Q(1 − x 2 )
Ici, il est plus intéressant de regarder le signe de cos w D qui est positif quel que soit x
(alors que sin w D change de signe) donc −
p
2
< w D <
p
2
et −
p
2
< w <
p
2
.
• Lorsque x → 0, tan w D → 0 donc w D → 0 et w = −w D → 0.
• Lorsque x → ∞, tan w D → 0 donc w D → 0 et w → 0.
On retrouve les valeurs limites de w déterminées précédemment. Il est intéressant de
s’occuper de ce qui se passe en x = 1. Pour x → 1 − , tan w D → +∞ donc w D →
p
2
et w → −
p
2
. Pour x → 1
+ , tan w D → −∞ donc w D → −
p
2
et w →
p
2
.
On obtient la courbe de la figure 18.44 tracée pour les trois mêmes valeurs de Q que
précédemment.
435